Logistic Regression，Softmax以及Cross Entropy

I. Logistic Regression(LR)

1. 从线性回归说起

线性回归(Linear Regression)是一个回归模型，用线性关系来拟合输出 $y$ 和输入 $x$ 之间的关系：
$f(\boldsymbol x) = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b \tag1$
或者可以简写
$f(\boldsymbol x) = \boldsymbol {w^Tx} +b \tag2$
$\boldsymbol {x} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w} \in \mathbb{R^n}, b \in \mathbb{R}.$ 但线性回归只能解决连续值的回归问题。如果延伸到分类问题，自然的想法是找一个连续可微函数 $g(\cdot)$ 将式(2)的输出值 $f(\boldsymbol x)$ 映射到一个概率范围[0,1]内。如果选择sigmoid函数，就成为了我们要讨论的logistic regression模型。sigmoid函数如式（3）所示
$y = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag3$

2. Logistic Regression

Logistic Regression是一个二分类模型，定义为如下的条件概率函数
$P(Y=1|x) = \frac {e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}}{1+e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}} \tag4$
$P(Y=0|x) = \frac {1} {1+e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}} \tag5$
$\boldsymbol {x} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w} \in \mathbb{R^n}, b \in \mathbb{R}.$ 模型会比较式(4) (5)的大小，并将较大的概率值对应的标签作为预测结果。

这里要引入一个几率(odds)的概念。一个事件的几率是指该事件发生与不发生的概率之比，即 $\frac p {1-p}$ .对几率取对数则是对数几率(log odds，又称logits).根据式(4)和(5)，Logistic Regression的logits为
$log(\frac p {1-p}) = \boldsymbol {w^Tx}+b \tag6$
这里就可以看出，LR模型实质上是用线性函数来拟合事件的对数几率，因此LR又被称为对数几率模型。由于LR是一个概率模型，因此可以使用极大似然法来求解参数 $\boldsymbol w$ 和 $b$ ，网上有很多推导，这里不做展开。

II. Softmax函数

1. 定义

LR是一个二分类模型。想做多分类的话，就轮到softmax登场了。softmax函数定义如下：
$Y_i = \frac {e^{\boldsymbol {w_i^Tx_i}}}{\sum_{k=1}^K e^\boldsymbol {{w_k^Tx_k}}}\tag7$
$\boldsymbol {x_i} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w_i} \in \mathbb{R^n}, i \in \{1, 2, ..., K\} , Y_i \in (0, 1).$ Softmax函数的取值为(0, 1)，经常用于神经网络最后一层的激活函数。这 $K$ 个输出可以看做是对K个类别的预测概率，softmax输出值最大的那个就作为预测的标签。

2. Softmax与LR的关系

事实上，LR是softmax的类别数 $K=2$ 时的特殊形式，推导如下：
当 $K=2$ 时，softmax可以写作
$Y_i = \frac {e^{\boldsymbol {w_i^Tx_i}}}{e^{\boldsymbol {w_1^Tx_1}}+e^{\boldsymbol {w_2^Tx_2}}}, i=1,2 \tag8$
将分子分母的系数 $w$ 都减去 $w_i^T$ ，可得
$Y_1 = \frac {e^{\boldsymbol {0x_i}}}{e^{\boldsymbol {0x_1}}+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}} = \frac {1}{1+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}\tag9$
$Y_2 = 1-Y_1 = \frac {e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}{1+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}\tag{10}$
令 $\boldsymbol {w_2^T-w_1^T}=\boldsymbol {w^T}$ ，则 $Y_1$ 和 $Y_2$ 就是logistic regression中的 $P(Y=0|x)$ 和 $P(Y=1|x)$ .

3. Softmax的导数

Softmax经常作为神经网络的输出，其导数为：

$\frac{\partial Y_i}{\partial \boldsymbol{x_j}}=\left\{\begin{aligned}-Y_iY_j, & i \neq j \\Y_i(1-Y_j), & i = j\end{aligned}\right.\tag{11}$

III. Cross Entropy

Cross entropy (交叉熵)原本是信息论中的概念，描述的是两个概率分布间的距离，定义如下
$H(p, q) = -\sum_xp(x){\rm log}q(x) \tag{12}$
在分类任务中，我们经常看到Cross Entropy作为LR和softmax函数的损失函数。这里 $p(x)$ 为真实值， $q(x)$ 为预测值，交叉熵可以刻画预测值和真实值之间的差异，这也是其可以作为概率模型loss函数的原因。而前文所介绍的LR和softmax输出的结果正是这样的概率形式。

当Cross entropy作为LR的损失函数时，式(12)中的 $x$ 即为sigmoid的输出Y，因此
$H(p, q) = Y \cdot {\rm log}P(Y=1) + (1-Y) \cdot {\rm log}P(Y=0) \tag{13}$
对于所有m个样本取平均可得
$\frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} H_n(p, q) = Y_n \cdot {\rm log}P(Y_n=1) + (1-Y_n) \cdot {\rm log}P(Y_n=0) \tag{14}$
可以证明，cross entropy与使用极大似然法计算出的loss一致。

当Cross entropy作为softmax的损失函数时，式(12)变为
$H(p, q) = -\sum_{i=1}^{K}O_i{\rm log}Y_i = {\rm log}Y_t = {\rm log} \frac {e^{\boldsymbol {w_t^Tx_t}}}{\sum_{k=1}^K e^\boldsymbol {{w_k^Tx_k}}} \tag{15}$
其中 $t$ 为真实label， $t \in \{1,2,...,K\}.$ 这里使用gradient descent来优化loss函数，式(15)对特定输入 $x_j$ 的导数为
$\frac {\partial H(p, q)} {\partial x_j } = -\frac {\partial \sum_{i=1}^{K}O_i{\rm log}Y_i }{\partial x_j} = - \sum_{i=1}^{K}O_i \frac {\partial {\rm log}Y_i }{Y_i}\frac{\partial Y_i }{\partial x_j} = - \sum_{i=1}^{K}O_i\frac{1}{Y_i} \frac{\partial Y_i }{\partial x_j} \tag{16}$
将前面式(11)softmax的导数代入得
$\frac{\partial H(p, q)} {\partial x_j }=-(\frac{O_j}{Y_j}\cdot\frac{\partial Y_j}{\partial x_j} + \sum_{i\neq j}\frac{O_i}{Y_i}\cdot\frac{\partial Y_i} {\partial x_j} ) =O_j(Y_j-1)+Y_j\sum_{i\neq j} O_i = \left\{\begin{aligned}Y_j-1, & O_j=1 \\Y_j, & O_j=0\end{aligned}\right. = Y_j-O_j \tag{17}$
可以看出，softmax函数的cross entropy loss求导结果正好是预测值 $Y_j$ 和真实label $O_j$ 之差。

最后编辑于：2020.03.21 00:10:45

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