279. 完全平方数

https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

我一开始想的是动态规划
自己没有写就搬运了别人的
但dp的时间复杂度硬伤

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> det(n+1, INT_MAX);
        det[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int temp = sqrt(i);
            if(temp * temp == i) det[i] = 1;
            else{
                for(int j = 1; j <= temp; j++)
                    det[i] = min(det[i], 1 + det[i-j*j]);
            }
        }
        return det[n];
        
    }
};

居居的方法：广搜
居居：“dp的时间复杂度太高了。”
but事实是用时上广搜也没好到哪里去并且debug用了相当久……

class Solution {
public:
    struct node{
        int x,f;
    };
    queue<node> q;
    int numSquares(int n) {
        int vis[1000005]={0};
        node a,p;
        a.x=n;
        a.f=0;
        q.push(a);
        vis[n]=1;
        while(!q.empty()){
            a=q.front();
            q.pop();
            for(int i=1;i*i<=n;i++){
                int t=a.x-i*i;
                if(t==0)return a.f+1;
                if(t>0&&!vis[t]){
                    p.x=t;
                    p.f=a.f+1;
                    vis[t]=1;
                    q.push(p);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
};

最后发现这是个数学问题……
四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。
推论：满足四数平方和定理的数n（四个整数的情况），必定满足 n=4^a(8b+7)
看到的证明清晰且有拓展的网站：https://www.changhai.org/articles/science/mathematics/four_square_theorem.php

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while(n%4==0)n/=4;
        if(n%8==7)return 4;
        for(int a=0;a*a<=n;a++) {
            int b=sqrt(n-a*a);
            if(a*a+b*b==n){
                if(!a||!b)
                    return 1;
                return 2;
            }
        }
        return 3;
    }
};