2018-10-20

数字信号处理

第一章绪论
- 傅里叶变换之后，时域信号变为频域信号，丧失了时间分辨率，通过加了时间窗，可以发现一段时间的频率是如何。时间窗取值为高斯窗短时傅里叶变换GABOR变换
- 小波变换：时域局部性
第二章
- 常用的典型序列
  - 1、 $\delta(n) = \begin{cases} 1,n = 0\\ 0,n \neq 0 \end{cases}$
  - $x(n) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x(k)\delta(n - k)$
  - 表示：
    - $\delta(n-n_0) = \begin{cases} 1,n = n_0\\ 0,n \neq n_0 \end{cases}$
    - $n_1 \leq n \leq n_2,n_1 \leq n_0 \leq n_2$
  - 2、 $u(n) = \begin{cases} 1,n \geq 0\\ 0 ,n < 0 \end{cases}$
  - 矩形序列：
  - 3、 $R_n= \begin{cases} 1, 0 \leq n \leq N-1\\ 0 ,else \end{cases}$
  - 4、实指数序列
  - $x(n) = a^{|n|}$
  - 双边实指数序列 0<a<1
  - 单边实指数序列：
    - $x(n) = a^nu(n)$
  - 5、正弦序列
    - $x(n) = \sin(\omega n)$
    - 给定模拟信号 $\sin(\Omega t)$
    - - $\omega = \Omega T$
      - $f$ 与 $T$ 互为倒数
      - 数字频率 $\omega$ 与模拟角频率 $\Omega$ 的关系为 $\omega = \frac{\Omega}{f}$
- 线性时不变系统
  - 系统的输入为 $x(n) = \delta(n)$ ,系统的输出 $y(n)$ 的初始状态为零，这种条件下系统的输出为系统的单位脉冲响应，用 $h(n)$ 表示。
  - 系统的单位脉冲响应就是系统对于单位脉冲序列的零状态响应
    - $h(n) = T[\delta(n)]$
  - 对于任意经过线性系统的输出表示：
    - - $= \sum_{-\infty}^{+\infty}x(m)h(n-m)$
      - $= \sum_{-\infty}^{+\infty}x(m) \ast h(n)$
- 线性卷积
  - $y(n) = x(n) \ast h(n) = \sum_{m = -\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$
  - $x(n)$ 与 $h(n)$ 用 $x(m)$ 和 $h(m)$ 表示，并将 $h(m)$ 翻转 $h(-m)$ ，将 $h(-m)$ 移位 $n$ 得 $h(n-m)$ ,对应项相乘，之后相加。
  - 两个序列分别为M ,N,，卷积后的长度为N +M-1。
DTFT(离散傅里叶变换)
- 离散和非周期变换为频域为连续和周期的信号
- 定义： $X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$
- 充要条件：
  - $\sum_{n = -infty}^{\infty}|x(n)| <\infty$
- IDTFT
  - - $\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega = \sum_{n =-\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}x(n)e^{j\omega(m-n)}d\omega$
    - - $= \int_{-\pi}^{\pi}(\cos( \omega(m- n)) - \sin(\omega(m-n)))d\omega$
      - $= \begin{cases} 2\pi,m = n\\ 0,else \end{cases}$
      - $= 2\pi \delta(m - n)$
      - $\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega = 2\pi \sum_{-\infty}^{\infty} x(n) \delta(n-m) = 2 \pi x(m)$
      - $x(m) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega m}d\omega$
    - $x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$
  - 序列的离散时间傅里叶变换的周期是 $2\pi$ ，一般只分析 $-\pi ,\pi$ 之间的变换

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