1、基本概念
平衡因子：某个节点的左右子树的高度差
AVL数的特点：
1、每个节点的平衡因子只可能是1、0、-1（绝对值1，如果超过1，称为“失衡”）
2、每个节点的左右子树高度差不超过1
3、搜索添加删除的时间复杂度为O(logn)
平衡二叉树
2、二叉树失衡
往上面二叉树中添加13，会导致二叉树失衡
最坏的情况会导致所有祖先节点失衡。
父节点、非祖先节点，都不可能失衡
3、调整为平衡二叉树的方法
3.1、LL-右旋转（单旋）
右旋
如上图所示通过旋转节点g，将树调整为右侧的二叉树，让p成为二叉树的根节点
3.2、RR-左旋转（单旋）
左旋
如上图所示通过旋转节点g，将树调整为右侧的二叉树，让p成为二叉树的根节点
3.3、LR-RR左旋转，LL右旋转（双旋）
左旋、右旋
如上图所示通过旋转节点p，将n调整为p的左子树（如图中间位置）。在通过旋转g节点，让g成为n的右子树，最终得到平衡二叉树
3.4、RL-LL右旋转，RR左旋转（双旋）
右旋-左旋
如上图所示通过旋转节点p，将n调整为p的右子树（如图中间位置）。在通过步骤2将g成为n的左子树，最终得到平衡二叉树
3.5、统一旋转操作
4、关键代码实现
4.1、分别对每种旋转处理
// 添加每个节点后，调整二叉树的平衡
protected void afterAdd(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
// 整颗树恢复平衡
break;
}
}
}
// 恢复平衡，grand:高度最低的不平衡节点
private void rebalance(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallerChild();
Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotateRight(grand);
} else { // LR
rotateLeft(parent);
rotateRight(grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotateRight(parent);
rotateLeft(grand);
} else { // RR
rotateLeft(grand);
}
}
}
// 平衡因子 <= 1
private boolean isBalanced(Node<E> node) {
return Math.abs(((AVLNode<E>)node).balanceFactor()) <= 1;
}
private void rotateLeft(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.right;
Node<E> child = parent.left;
grand.right = child;
parent.left = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void rotateRight(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.left;
Node<E> child = parent.right;
grand.left = child;
parent.right = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void afterRotate(Node<E> grand, Node<E> parent, Node<E> child) {
parent.parent = grand.parent;
if (grand.isLeftChild()) {
grand.parent.left = parent;
} else if (grand.isRightChild()){
grand.parent.right = parent;
} else { // grand是root点
root = parent;
}
// 更新child的parent
if (child != null) {
child.parent = grand;
}
// 更新grand的parent
grand.parent = parent;
// 更新高度
updateHeight(grand);
updateHeight(parent);
}
private void updateHeight(Node<E> node) {
((AVLNode<E>) node).updateHeight();
}
4.2、统一操作实现
// 删除子节点后重新调整二叉树的平衡
protected void afterRemove(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
rebalance2(node);
}
}
}
// grand 高度最低的不平衡点
private void rebalance2(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallerChild();
Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) {
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotate(grand, node.left, node, node.right, parent, parent.right,grand, grand.right);
} else { // LR
rotate(grand, parent.left, parent, node.left, node, node.right,grand, grand.right);
}
} else {
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotate(grand, grand.left, grand, node.left, node, node.right, parent, parent.right);
} else { // RR
rotate(grand, grand.left, grand, parent.left, parent, node.left, node, node.right);
}
}
}
// rotate2
private void rotate(Node<E> r,
Node<E> a, Node<E> b, Node<E> c,
Node<E> d,
Node<E> e, Node<E> f, Node<E> g) {
// 让d 成为这颗子树的根节点
d.parent = r.parent;
if (r.isLeftChild()) {
r.parent.left = d;
} else if (r.isRightChild()) {
r.parent.right = d;
} else {
root = d;
}
// a-b-c
b.left = a;
if (a != null) {
a.parent = b;
}
b.right = c;
if (c != null) {
c.parent = b;
}
updateHeight(b);
// e-f-g
f.left = e;
if (e != null) {
e.parent = f;
}
f.right = g;
if (g != null) {
g.parent = f;
}
updateHeight(f);
// b-d-f
d.left = b;
d.right = f;
b.parent = d;
f.parent = d;
updateHeight(d);
}
