《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所需得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动。
什么是基本数学思想?
在数学教学中，通常说的等量代换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想方法，但不是数学基本思想。
判断数学基本思想有两个原则：第一个原则，数学产生和发展所必须依赖的那些思想；第二个原则，学习过数学的人应当具有的基本思维特征。
根据这两个原则，我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。
通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能力强；通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进了数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能力强；通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，建构了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能力强。
针对具体的数学内容，不可能把三者截然分，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开。
在推理的过程中，往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不是直接来源于现实世界的概念和运算法则。
在这个意义上，数学并不仅仅研究那些直接来源于现实世界的东西；在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中抽象出最本质的关系，并且用数学的语言予以表达。
反之，抽象的过程往往需要借助逻辑推理。比如，在一类事物中发现共性、分辨差异，抽象出数学的概念；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性、什么是命题的相容性，最终抽象出公理体系；在众多个案的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最终用抽象的符号表达一般性的运算法则。
因此，在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型这三者之间常常是你中有我、我只有你。
什么是抽象?
抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。
最初的抽象是直观的，正如康德所说：“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。”
对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系；图形与图形关系。
这就意味着，数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系。与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。
亚里士多德在《形而上学》中说：“个体不能同时在多处存在，共相却可以同时存在于众多。数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西，诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。”
人们把现实生活中的数量抽象为数，形成自然数，并且用十个符号和数位进行表示，得到了自然数集。在现实生活中，数量关系的核心是多与少，人们又把这种关系抽象到数学内部，这就是数的大与小。后来又把大小关系推演为更一般的序关系。
由大小关系的度量产生了自然数的加法，由加法的逆运算产生了减法，由减法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法。因此，数的运算本质是四则运算，这些运算都是基于加法。
通过运算的实践以及对运算性质的研究，抽象出运算法则为了保证运算结果的封闭性，就实现了数集的扩张。
在本质上，数集的扩张是因为逆运算：为了减法运算的封闭，自然数集扩张为整数集；为了除法运算的封闭，整数集扩张为有理数集。
数学还有第五种运算，这就是极限运算，设计数与及数的运算的第二次抽象。为了很好地描述极限运算，需要解决实数的运算和连续性；为了很好地定义实数，需要解决无理数的定义和运算；为了清晰定义无理数，需要重新认识有理数，这样，小数形式的有理数就出现了。
1872年，康拖用基本序列的方法，通过有理数列的极限定义了实数，解决了实数的运算问题；带的金用分割的方法，通过对有理数的分割定义了实数，解决了实数的连续性问题。
1889年，皮亚诺构建算术公理体系，重新定义了自然数。借助这一系列的工作，人们终于合理地解释了数和数的运算，合理地解释了微积分，构建了现代数学中关于数及其运算的理论基础。
图形和图形的关系的抽象页经历了类似的过程。
所以，抽象是数学得以产生和发展的思想基础，并且，与数学的发展同步，数学的抽象页经历了两个阶段。
第一个阶段的抽象是基于事实的，人们通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画研究对象关系的术语和计算方法。这种基于现实的抽象，是从感性具体上升到理性具体的思维过程。随着数学研究的深入，还必须进行第二次抽象，这个阶段的抽象是基于逻辑的。人们通过第二阶段的抽象，合理解释了那些通过第一次抽象已经得到了的数学概念以及概念之间的关系。第二次抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程。
虽然第二次抽象使数学更加严谨，但第一次抽象却是更为本质的，因为第一次抽象创造出了新的概念、运算法则和基本原理，而第二次抽象只是更加严谨地解释这些创造。如果没有第一次抽象作为铺垫，我们将无法理解第二次抽象的真实含义。
什么是推理?
推理是对命题的判断，是从一个命题判断到另一个命题的思维过程。它是可供判断的陈述句、有逻辑的推理是指所要判断的命题之间具有某种传递性，能有一条主线把这些命题串联起来。
按照人们通常的理解，主要有三种思维形式：形象思维、逻辑思维和辩证思维。数学主要依赖的是逻辑思维，具体体现就是逻辑推理。人们通过逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，并且用抽象的术语和符号描述这种关系，形成数学命题和运算结果，促进了数学内部的发展。
随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同，数学逐渐形成各个分支，甚至形成各种流派。
因为数学研究问题的出发点是一致的，逻辑推理规则也是一致的，因此，数学在整体上是一致性的。虽然数学各个分支所研究的问题风马牛不相及，但数学各个分支得到的结果却是相互协调的。
数学整体上的一致性还源于推理的形式，本质上只有两种形式的逻辑推理，一种是归纳推理，一种是演绎推理。
归纳推理是命题的使用范围由小到达的推理，是一种从特殊到一般的推理。通过归纳推理得到的结论是或然成立的。
归纳推理不包括完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，因此，除去计算得到的结果之外，数学的结论都是通过归纳推理得到的。
演绎推理是命题的适用范围由大道小的推理，是一种从一般到特殊的推理。通过演绎推理得到的结论都是必然成立的。
演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过归纳推理得到的结论，这便是数学的“证明”。
通过证明能够验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。也就是说，演绎推理能保证论述的结论与论述的前提一样可靠，但不能增添新的东西。
什么是模型?
数学模型与人们通常所说的数学应用是有所区别的：数学应用涉及的范围少相当宽泛，可以泛指应用数学的方法解决实际问题的所有事情；数学模型更侧重用数学创造出来的概念、原理和方法，描述现实世界中的那些规律性的东西。
通俗地说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。数学模型使数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。
因此，数学模型的出发点往往不是数学，而是将要讲述的现实世界中的那些故事：数学模型的研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始：这就像建筑桥梁一样，在建筑之前必须清楚要把桥梁建筑在哪里，要在此岸和彼岸同时设计桥墩的具体位置。构建数学模型的大体流程是：从两个出发点开始，规划研究路径、确立描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以用来描述现实世界的数学表达。
在现实世界中，放之四海而皆准的东西是不存在的，因此，一个数学模型必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于模型的假设前提、模型的初始值以及对模型中参数的限制。在这个意义上，所有数学的形式，诸如函数、方程等，本身都不是数学模型，而是可以用来构建模型的数学语言。
因为数学模型具有数学和现实这两个出发点，因此，数学模型就不完全属于数学。事实上，大多数应用性很强的数学模型的命名，都依赖于所描述的学科背景。比如，生物学中的种群增长模型、基因复制模型等；医药学中的专家诊断模型、疾病靶向模型等；气象学中的大气环流模型、中长期预报模型等；地质学中的板块构造模型、地下水模型等；经济学中的股票衍生模型、组合投资模型等；管理学中投人产出模型、人力资源模型等；社会学中人口发展模型、信息传播模型等。在物理学和化学中，各类数学模型更是不胜枚举。
总之，数学模型描述的是现实世界的故事，因此，数学模型不仅研究的出发点不是数学本身，就连价值取向也不是数学本身，而是描述现实世界的作用。
人们普遍认为：数学具有三个是著特征：一般性、严谨性和应用的广泛性。事实上，这三个显著特征的形成，依赖于数学的基本思想。
抽象出来的东西必然要脱离具体的表象，因此数学是一般的，特别是经过了第二次抽象，数学的表达实现了符号化，走向了一般化的极致；数学的推理是有逻辑的，通过归纳推理预测结论、通过演绎推理验证结论，因此数学是严谨的。特别是近代数学的证明过程实现了公理体系下的形式化，使得数学的严谨走向极致；模型思想的本质是站在现实的立场上，思考现实世界中规律性的问题、用数学的语言讲述现实世界的故事、用现实的效果评价模型的功效，这样的应用是与现实世界融合的，因此，数学的应用是广泛的。毋庸置疑，数学的严谨性是极为重要的。
