有心力问题（1）：从二体到一体问题的约化

在有心力问题中我们主要研究由两个质点： $m_1$ ， $m_2$ 组成的单演系统。系统内存在唯一的作用力来自于两质点间的相互作用势 $U$ 。

一般而言，势函数 $U$ 是一个关于两质点相对位矢 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$ 及其对时间的导 $\dot{\mathbf{r}} = \dot{\mathbf{r}_2} - \dot{\mathbf{r}_1}$ 甚至高阶导 $\ddot{\mathbf{r}}...$ 的函数。

$\bullet$ 这样的二体系统通常拥有六个自由度（六个广义坐标）。我们倾向将其中三个选为系统质心 $\mathbf{R}$ 的三个分量，剩下三个选为矢量 $\mathbf{r}$ 的三个分量。

$\bullet$ 拉格朗日函数将具有形式： $\mathscr{L} = T(\dot{\mathbf{R}}, \dot{\mathbf{r}}) - U(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},...)$

$\bullet$ 在由两个以上质点组成的系统中，动能由两部分组成：系统作为整体运动所具有的动能以及系统中各个微粒相对质心运动具有的动能之和。

$\begin{align*}T &= \frac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 = \frac{1}{2}\sum_i m_i \mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}_i\end{align*}$

因为 $\mathbf{r}_i = \mathbf{R} + \mathbf{r}^{\prime}_i$ ，我们将原点调整到质心（质心坐标系）：

$\begin{align*}T &= \frac{1}{2}\sum_im_i (\mathbf{v} + \mathbf{v}_i^{\prime}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{v} + \mathbf{v}_i^{\prime})\\&= \frac{1}{2}\sum_im_iv^2 + \sum_i m_i\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}_i^{\prime} + \frac{1}{2}\sum_im_i (v_i^{\prime})^2\\&= \frac{1}{2}\sum_im_iv^2 + \frac{1}{2}\sum_i m_i (v_i^{\prime})^2 + \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \frac{d}{dt}\left(\sum_i m_i\mathbf{r}_i^{\prime}\right)\\&= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}\sum_i m_i(v_i^{\prime})^2\end{align*}$

其中

$\sum_i m_i\mathbf{r}_i^{\prime} = \sum_i m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = \mathbf{0}$

$\bullet$ 对于二体系统，动能

$T = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{\rm{R}}^2 + \frac{1}{2}m_1(\dot{r_1}^{\prime})^2 + \frac{1}{2}m_2(\dot{r_2}^{\prime})^2$

其中 $\mathbf{r}_1^{\prime}$ 和 $\mathbf{r}_2^{\prime}$ 为质点与质心的相对位矢： $\mathbf{r}_1^{\prime} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{R}$ ； $\mathbf{r}_2^{\prime} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{R}$ 。

利用定义

$\mathbf{R} \equiv \frac{\sum_i m_i\mathbf{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}$

和

$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$

可得

$\mathbf{r}_1^{\prime} = \frac{-m_2}{m_1 + m_2}\mathbf{r};\quad \mathbf{r}_2^{\prime} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\mathbf{r}$

代入动能表达式

$T = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{\rm{R}}^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\right)\dot{r}^2$

拉格朗日函数变为

$\mathscr{L} = \left(\frac{m_1 + m_2}{2}\right)\dot{\rm{R}}^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\right)\dot{r}^2 - U(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},...)$

$\bullet$ 首先拉格朗日函数不显含质心 $\mathbf{R}$ ：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{\mathbf{R}}}\right) = \mathbf{0} \implies \dot{\mathbf{R}} = \text{const.}$

系统的质心要么静止，要么保持着匀速。

$\bullet$ 因为拉格朗日函数第一项不含有坐标 $\mathbf{r}$ ，当考虑与其有关的运动方程时，可直接将第一项略去而不至于影响运动方程的形式：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}\mu \dot{r}^2 - U(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},...)$

简化后的表达式等效于一个质量为 $\mu$ 的单质点在相对力心 $\mathbf{r}$ 处受到有心力时的拉格朗日函数。

我们将 $\mu$ 称为约化质量(reduced mass)，它也时常被写为 $\mu = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$ 。

所以对于二体问题，我们总是能将其转化为一体问题来求解。

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