要想了解有理数的运算，我们首先要了解一下什么是有理数，整个小学的阶段，我们学过了很多数。有理数就是可以用比来表示的数，也就是指可以用比号（：）或除法表示的数，如4等于4：1。接下来我们要对有理数进行分类，先重申一下分类的原则，就是要确定分类对象，分类的标准，就是要不重不漏，我们可以把有理数分成整数和分数。而小数是包含无限不循环小数的。因为为小数可以化作分数，但是只有无限循环小数与有限小数才能直接把小数放到分数里就行了。而那些无限不循环的小数，我们现在先暂且称作无理数。

    接下来，来了解一下负数，为什么会出现负数呢？或者可以说是为什么会发明负数呢？是因为有时在我们的现实生活中，会发现正数是不够用的。比如说我有七块钱，但是我欠了八块钱。后来人们也发现，可以用正数与负数表示相反意义的量，比如说北边和南边，收入和支出。这些相反意义的量都可以用正数和负数表示，比如说我支出了六块钱，收入了七块钱，就可以表示为，-6和＋7。

      再来看看上图，3和-3就是一对相反的数，我们称这一对一对的数为相反数。两个数要成为相反数，必须得满足两个条件，一个是这两个数在原点的相反方向，第二是他们两个到原点的距离是相同的。我们还可以从这个图中发现一个很神奇的地方，就是两个相反数，他们离原点的距离是相同的，我们称这段距离为绝对值。图上的3和-3，它们离原点的距离都是三格，所以他们两个都有一个共同的绝对值就是三。

      诶，是不是发现一个规律？相反数的绝对值是相同的。可以用一个符号来表示“/ /”还是以-3和3来举例/3/=3，/-3/=3。

      我们可以发现，每个数对应在数轴上的位置是唯一的，而且这个数轴也是无限长的。一个数在数轴上，越往原点的左边数越小，越往原点的右边数越大，学习完负数之后，我们可以进一步来把我们所了解的数进行分类。

      我们可以先把我们所知的有理数分成两类：整数和分数，这种分类标准就是以数的形式来分类，我们还可以分成三类正有理数零，负有理数。分类标准就是以零为基准的大小，分数值的大小。也可以把这些数分成四类，先是正有理数，它可以分成正整数和正分数，而负有理数，可以把它分成负整数和负分数，分成五类，就是把整数分成正整数，负整数和零分数可以分成负分数和正分数。

        接下来就来了解一下有理数的四则运算，也就是乘除和加减，任何两个有理数都可以比较大小的，因为他们都可以在数轴上表示。两个负数比大小，绝对值越大的数越小。就比如说-7和-5，-7的绝对值为7而-5的绝对值为5。-7的绝对值大于-5的绝对值，所以-5比-7大。

        再来看一看加法的运算，当一个负数和一个正数进行加法的运算时，负数的绝对值大于正数时，结果就得负数。当负数的绝对值小于正数时，结果就得正数。就比如说-7+5，-7离原点的距离是7个单位长度，而5离原点的距离是5个单位长度，-7+5个单位长度还是一个负数。那也就可以得出来一个规律，谁的绝对值大结果的符号就和它一样。因为减法可以变成加法的运算，除法可以变成乘法的运算，所以这里就不过多讲有理数除法和减法的运算。

      有理数的正数乘正数就不用我再多说了吧，我们这次注重的就是有理数，乘法中至少要带一个负数的乘法运算。一个正数乘以一个负数它的绝对值肯定是没有变化的。一个正数在数轴上往相反的方向跳，那他就肯定是一个负数了。所以一个正数乘一个负数就等于负数。下面就是负数乘以负数了比如说-5×6等于-30。我们都知道，在一个负数前面再加一个负号就等于一个正数。比如说；-（-14）=14。那-5×-6就相当于是在原本的-30前面，再加上一个负号，也就成为了30。负数乘以负数的运算，也可以在数轴上解释。还拿-5×-6来举例子，它的绝对值肯定是没有变化的，只不过是前面的符号到底是正还是负。其实就是加一个负号，改变一下方向，照一下镜子。所以一个负数乘以负数的结果就等于正数。

      下面我们再来了解一下有理数的乘方。什么叫乘方呢？大家可能认识比较多的就是正方形的面积公式S=a²，或者正方形的体积公式S=a³，那a的二次方和a的三次方分别是什么意思呢？就是三个a相乘和二个a相乘。

    大家可以观察一下，如上的这个图片。n是a的指数，a是底数，而这个乘方的结果也就是n个a相乘的结果叫幂。一般我们，都知道字母可以表示任何数吧，n也是可以的，但是当n变成指数时，他就表示n个底数相乘，所以说n应该是正整数。假设n是一个负数，-2个a相乘，我们一般是不会这么说的。所以n到底能不能是零或者负整数，只能作为一个疑问留在这里。那为什么要发明乘方呢？因为人们觉得写那么多乘法太累了，比如说5×5×5×5x5×5×5×5×5x5×5×5×5×5x5×5×5×5×5x5。

    我们还可以发现，在我们生活中有很多的乘数，我们生活中也会有特别多的大数比如40000000000000000000000000000。所以人们就发明了科学计数法，那什么是科学计数法呢？

        观看一下上图，我们可以发现，十的几次方就是一后面加几个零，比如说1000=10³，100000000等于十的八次方，那就可以得出一个式子10ⁿ，也就是1后面有n个零。所以为了更简洁的表示一个特别大的数，我们就可以用这样的方法来表示。比如说3300，可以表示，乘33×10²，2300可以表示成2.3×10的三次方，为了不出什么岔子，科学家们就规定，如果a×10ⁿ的话，a必须要大于或等于一，必须要小于十。

这就是有理数这一章节学的所有内容了，下面来看一看我写的脑图吧！