库默尔是研究单位根形成的代数数，而高斯的学生戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916)用一种全新的形式探讨唯一因子分解问题，他出生在不伦瑞克，31岁时回到不伦瑞克，在当地高等技术学校当了50年教师，1871年他编辑狄利克雷的《数论》第二版，在附录中发表了他的结果。在第三、四版《数论》中他又扩展了这些结果，创立了现代代数数的理论。
戴德金的代数数理论是高斯复整数和库默尔代数数的一般化，但和高斯复整数有一些差别，如果数r是方程的根（方程次数为n）就称r为一个n次代数数，式中ai是普通整数（a0不为0），如果a0为1，则所有解叫做n次代数整数。代数整数的和、差、积仍是代数整数，如果一个代数整数是有理数，则它是普通整数。
在新定义下，一个代数整数可以包括普通分数，如是一个二次代数整数，因为它是
的根，反之
是一个二次代数数但不是代数整数，因为它是
的根。
戴德金接着引入数域的概念，数域是一个实数或复数的集合F，如果α,β属于F，则α+β，α-β，αβ，α/β(β≠0)都属于F，每个数域都包含有理数，因为如果α属于数域F，则α/α=1也属于F，1+1，1+2等都属于F。一切代数数的集合形成一个域。
如果从有理数域出发，而θ是一个n次代数数，则θ和自身及有理数在四种运算下形成的集合也是n次域，这个域也可以说是包含有理数和θ的最小域，也称有理数的扩域。这样的域不包含所有代数数，而是一个特殊的代数数域，现在常记为R(θ)。令f(x),g(x)为有理系数的多项式，f(θ)/g(θ)在域R(θ)中，且R(θ)中的任何数a能表示为，ai是普通有理数。此外域中存在n个代数整数θ1,θ2,...,θn使域中所有代数整数都有形式A1θ1+A2θ2+...+Anθn，Ai是普通的正或负整数。
戴德金引入了环的概念，环是一个集合，如果α和β属于该集合，则α+β，α-β，αβ也属于该集合，所有代数整数的集合形成一个环，任何一个特殊代数数域中的一切代数整数也形成环。
如果存在一个代数整数γ使α=βγ，就说代数整数α能被代数整数β整除，如果j是一个代数整数并能整除代数数域中的每个其它整数，就称j是该域的一个可逆元素，这些可逆元素包括±1，是普通数论中可逆元素±1的一般化。如果代数整数α不是0或可逆元素，且能分解为βγ（β和γ也属于该域，β或γ是该域中的可逆元素），则称α是一个素数。
下面讨论算数基本定理成立的范围。在一切代数整数所形成的环中没有素数。考虑特殊的代数数域R(θ)中的整数环，如域，其中a,b是普通的有理数，在这个域中唯一因子分解不成立，如
，这四个因子都是素数，它们不能分解为形如
的乘积，其中cdef是整数。
再考虑域，a,b是普通有理数，对这种数进行四种代数运算仍能得到这种数。限定a,b是整数，则得到这个域的(2次)代数整数，在这个域中可将可逆元素等价定义为：若1/M也是代数整数，则代数整数M是可逆元素，于是±1和5±2√6是可逆元素。每个整数都可被任意可逆元素整除，如果域中的一个代数整数只能被自身和可逆元素整除，则它为素数。6=2·3=√6·√6的分解因子不是素数，正确的分解是6=(2+√6)(-2+√6)(3+√6)(3-√6)，此时唯一分解成立。
在特殊代数数域的整数环中，代数整数总能分解成素因数，但唯一分解一般不成立，对形如的域，D取不为平方数整除的正整数，对直到10^9的D仅当D=1,2,3,7,11,19,43,67,163时唯一因子分解成立，因此代数数本身不具备唯一因子分解性。
