1820s高斯着手研究应用于高次同余式的反转定律，这些定律又涉及同余式的剩余，例如对同余式，如果存在整数x满足该方程，人们就可以定义q作为p的一个双二次剩余。高斯得到了双二次反转定律和三次反转定律，1808-1817年发表了很多相关工作，在1828和1832年给出了双二次剩余的正式定理。
为了使理论简单优美，高斯使用了复数即形如a+bi的数，其中a,b是整数或0。高斯在双二次剩余中必须考虑模p为形如4n+1的素数，它能分解成复的因数，这些因数使高斯认识到必须超出通常的整数域引入复整数，虽然欧拉和拉格朗日已经把这种整数引入数论，但高斯建立了复整数的重要性。
在通常的整数论中，可逆元素是+1和-1，在高斯的复整数论中，可逆元素是±1和±i，如果一个复整数是两个非可逆元素的复整数的乘积，就称为合数。如果一个复整数不能这样分解，则称为素数，例如5=(1+2i)(1-2i)，所以是合数，而3是一个复素数。
高斯证明复整数在本质上具有和整数相同的性质，欧几里得证明每个整数可唯一地分解成素数的乘积，这一唯一分解定理常被称为算数基本定理，高斯证明只要不把四个可逆元素作为不同的因数，唯一分解定理也对复整数成立，即如果a=bc=(ib)(-ic)，这两种分解是一样的。高斯还指出求两个整数的最大公约数的欧几里得法可用于复整数。
许多普通素数定理可转化为复素数的定理，如费马定理转化为如下形式：如果p是一个复素数a+bi，而k是任何一个不能被p整除的复整数，则，式中Np是p的模a2+b2。高斯也在1828年的论文中叙述了复整数的二次反转定律。
通过复数，高斯可以简单地叙述双二次反转定律，把不能被1+i整除的整数定义为非偶整数，准素非偶整数的定义是：非偶整数a+bi中b和a+b-1均是偶数，例如-7和-5+2i是准素非偶整数。双二次剩余的反转定律可叙述为：如α和β是两个准素非偶整数，A,B是它们的模，则，符号(α/β)4的意义是：如果p是任一复素数，k是任一不能被p整除的双二次剩余，则(k/p)4是i的幂
，它满足同余式
，Np表示p的模。该定理等价于：两个准素非偶整数如果模4同余于1，它们之间的两个双二次特征相同，也就是(α/β)4=(β/α)4；但如果两个数都不满足这个同余条件，它们的两个双二次特征就互反，即(α/β)4=-(β/α)4
高斯陈述了这一互反性定理，但未证明，1836-1837年雅可比在柯尼斯堡的演讲中给出了该证明，高斯的学生艾森斯坦(Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 1823-1852) 发表了这一定理的5个证明，最早的两个发表于1844年。
高斯在三次互反性中发现了一个运用“整数”a+bρ的定律，ρ是x^2+x+1=0的一个根，a,b是通常的有理整数，但高斯生前未发表该结果。雅可比最早陈述了三次反转定律，并在柯尼斯堡的演讲中给出了证明。艾森斯坦第一个发表了证明，雅可比看到后说这不是我之前说的么，艾森斯坦怒了，说我干嘛抄你的。
还存在高于四次的同余式的反转定律。
