引言
19世纪前，数论只是一系列孤立结果，高斯20岁写的《算数探讨》（1800年法国科学院没给发，高斯自行发表了）开启了数论新纪元。他使记号标准化，将定理系统化并推广，对问题和已知方法进行分类，并引入了新的方法。高斯在数论上有三个主要成果：同余理论、代数数理论、以及丢番图分析的指导思想：型理论。这部著作不仅是现代数论的开端，且确定了数论一直到今天的工作方向。狄利克雷对此书做了解释。
19世纪另一重要发展是解析数论，除了应用代数处理涉及整数的问题，还用了分析。这一分支的引领者是狄利克雷和黎曼。
同余理论
在高斯前同余理论的概念就出现在欧拉、拉格朗日和勒让德的著作中，但高斯引入了同余记号，并进行了系统应用。比如27以4为模同余于3，记为，一般说当a,b,m是整数时，如果a-b恰被m整除，或a和b被m除时具有相同余数，则
，这时说b是a的模m剩余，或a是b的模m剩余。高斯指出对固定的a和m，以m为模的a的一切剩余由a+km给出，k=0,±1,±2,...
对同模的同余式，在某些范围可像方程处理，同余式可以相加相减相乘，也可以求含未知量的同余式的解，如x为何值可以使？该方程无解，没有整数能使2x-25是12的倍数。拉格朗日建立了多项式同余式的基本定理，高斯重新证明：一个n次同余式
不可能有多于n个互不同余的根，其中模p是素数，它不能整除A。
高斯处理幂的同余式，用同余式术语证明了费马小定理：若p是素数而a不是p的倍数，则，这个定理从他对高次同余式
中推出，其中a,m互素，高斯之后还有很多人研究这个问题。
高斯接着讨论平方剩余，如果p是一个素数，而a不是p的倍数，并且存在x使，则a是p的平方剩余，否则a是p的平方非剩余，在证明了一些关于二次同余式的定理后，高斯给出了二次反转定律的第一个严密证明（不过1783年欧拉也做了完全叙述，但高斯说他的形式最简单），他参考了欧拉和勒让德的论文，并指出他们的证明不完全。
据推测高斯在1796年（19岁）时已发现了二次反转定律的证明，后来他陆续给了七个证明，希望找出一个建立双二次反转定律的证明。二次反转定律是同余式中的基本结果，被高斯誉为算术中的宝石。继高斯后，其他数学家给出了50个以上的证明。
高斯还讨论了多项式的同余式，如果A和B是x的两个多项式，可设为实系数的，那么可以找到唯一的多项式Q和R使A=B·Q+R，其中R的次数低于B的次数，当多项式A，B被P除时具有相同的余式R时，称A和B以第三个多项式P为模是同余的。
柯西（认真看了下底下文献好像确实是法语，咋出现得这么秃然呢）用这种思想定义复数，如果f(x)是一个实系数多项式，用x^2+1去除，因为余数比除数的次数低，这时有，类似地对多项式g(x)有
，柯西指出如果A1,A2和B是多项式且A1=BQ1+R1,A2=BQ2-R2，则
，由此可见
又因为
和
，数a+bx和c+dx像复数一样结合起来了，只是把i换成了x，柯西还证明每个模x^2+1不同余于0的多项式g(x)都有逆，即存在多项式h(x)使h(x)g(x)模
同余于1.
柯西也引入i代替x，然后证明对任何f(i)=a0+a1i+a2i^2+...都有，人们可以把对模i^2+1有相同余式的所有多项式f(i)归为一类，它们就是复数。
柯西在这篇文章中对根号-1表示了怀疑，他说与其用i表示根号-1，还不如表示一个实的未定量，然后把所谓虚方程变换为对变量i和除数i^2+1的代数等价关系，因为除数在一切公式中都一样，可以省略不写。
