高等数学

反函数

若函数 $f:D\rightarrow f(D)$ ，它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\rightarrow D$ ，则此映射 $f^{-1}$ 称为函数的反函数。

性质：

函数 $f(x)$ 与其反函数 $f^{-1}(x)$ 关于直线 $y = x$ 对称
若 $f(x)$ 是定义在 D上的单调函数，则与其反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，且 $f^{-1}(x)$ 也是单调函数，且单调性相同。

复合函数

$y = f[u] = f[g(x)]$
函数 f 和 g 构成的复合函数通常记为 $f \circ g$ ，即为 $f \circ g=f[g(x)]$ 。
如，物体运动的动能 $E=mv^2/2$ ，而自由落体的速度 $v=gt$ ，由落体的动能是时间 t 的复合函数 $E=\frac{1}{2}mg^2t^2$

基本初等函数

幂函数（Power Function）

$y = x^a (a是常数)$
幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值，它在 $(0,+\infty)$ 总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。

常见的幂函数

指数函数（Exponential Function）

$y = a^x (a>0,a\neq 1)$
定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，值域为 $(0,+\infty)$ ，都通过(0,1)。
当 a>1 时，函数单调递增。
当 0<a<1 时，函数单调递减。

指数函数

对数函数（Logarithmic Function）

$y = log_ax (a>0,a\neq 1)$
对数函数是指数函数 $y = a^x$ 的反函数，定义域为 $(0,+\infty)$ ，图形经过(1,0)点。
当 a>1 时，函数单调递增。
当 0<a<1 时，函数单调递减。

对数函数

三角函数（Trigonometric Function）

正弦函数 $y=\sin x$ 与余弦函数 $y=\cos x$ 的定义域均为 $(-\infty,+\infty)$ ，均以 $2\pi$ 为周期。 $y=\sin x$ 为奇函数， $y=\cos x$ 为偶函数。他们都是有界函数。

正弦和余弦函数

正切函数
定义域：。
周期：。奇函数。

正切函数

余切函数
定义域：。
周期：。奇函数。

余切函数

正割函数

余割函数 $y=\csc x (=\frac{1}{\sin x})$

余割函数

反三角函数（Anti-Trigonometric Function）

虽然三角函数不是单调函数，但是由于他比较特殊，所以我们可以研究其在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 的一个周期的反函数。
反正弦函数 $y=\arcsin x$

反正弦函数

反余弦函数 $y=\arccos x$

反余弦函数

反正切函数

反余切函数

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