同济高等数学第七版2.1习题精讲（续六）

18.已知y=\begin {cases}-x,x<0,\\x^2,x\geq 0.\end{cases}，求f'_{+}(0)和f'_{-}(0)，又f'(0)是否存在？

解：直接根据单侧导数定义：

f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x-0}{x}=-1
f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-0}{x}=0

左右导数不一样啊，所以不可导。

19.已知y=\begin {cases}sinx,x<0,\\x,x\geq 0.\end{cases}，求f'(x).

解：f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=1
f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1

所以在x=0处可导，导数为f'(0)=1

因此f'(x)=\begin {cases}cosx,x<0,\\1,x\geq 0.\end{cases}

20.证明:双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形面积等于2a^2。

证明：曲线在某点设为(x_0,y_0)处的切线斜率k=(\frac{a^2}{x})'|_{x=x_0}=-\frac{a^2}{x_0^2}

得到切线方程为y-y_0=-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0)

令y=0得到在x轴截得的长为2x_0，令x=0得到在x轴截得的长为2y_0，根据面积公式可得所围三角形面积等于2a^2。

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