同济高等数学第七版1.7习题精讲

1.当 $x\to 0$ 时， $2x-x^2$ 与 $x^2-x^3$ 相比，那一个是高阶无穷小量？

解：(1) $\lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x^2-x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2-x}{x-x^2}=\infty$

所以， $x^2-x^3$ 是高阶无穷小量。

2.当 $x\to 0$ 时， $（1-cosx)^2$ 与 $sin^2x$ 相比，那一个是高阶无穷小量？

解： $\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)^2}{sin^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{4}x^4}{x^2}=0$ .

所以， $(1-cosx)^2$ 是高阶无穷小量。

3.当 $x\to 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和 $1-x^3$ , $\frac{1}{2}(1-x^2)$ 是否同阶，是否等价？

解： $\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3}{1-x}=\lim_{x\to 1}(1+x+x^2)=3$ ，所以二者同阶但不是等价无穷小。

$\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2}(1-x^2)}{1-x}=1$ ，所以二者同阶，等价无穷小。

4.证明：当 $x\to 0$ 时，有

(1) $arctanx \sim x$ ;(2) $secx-1 \sim \frac{x^2}{2}$

证明：(1)设 $arctanx=t,x=tant,x\to 0,t\to0$

所以 $\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{tant}=1$ 。证明完毕。

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{secx-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{cosx}-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)2}{cosx\cdot x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot 2}{cosx\cdot x^2}=1$

5.利用等价无穷小性质，求下列极限。

(1) $\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}$

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m}$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}$

(4) $\lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}$

解：(1) $\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m}=\begin{cases}0,n>m\\1,n=m\\ \infty ,n<m \end{cases}$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx\frac{1-cosx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x\frac{\frac{1}{2}x^2}{cosx}}{x^3}=\frac{1}{2}$

(4) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(\frac{cosx-1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=-3$

6.证明无穷小的等价关系具有下列性质：

(1) $\alpha \sim \alpha$

(2)若 $\alpha \sim \beta$ ，则 $\beta \sim \alpha$

(3)若 $\alpha \sim \beta，\beta \sim \gamma$ ，则 $\alpha \sim \gamma$

证明：(1) $\because \lim \frac{\alpha}{\alpha}=1$ ，问题得证。

(2) $\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1,\therefore \lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ ，问题得证。

(3) $\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1, \lim \frac{\beta}{\gamma}=1,\therefore \lim \frac{\alpha}{\gamma}=lim\frac{\alpha}{\beta}\frac{\beta}{\gamma}=1$ ，问题得证。

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