问题重述
B 题 不透明制品最优配色方案设计
日常生活中五彩缤纷的不透明有色制品是由着色剂染色而成。因此，不透明制品的配色对其外观美观度和市场竞争力起着重要作用。然而，传统的人工配色存在一定的局限性，如主观性强、效率低下等。因此，研究如何通过计算机方法来实现不透明制品的配色具有重要意义。
光通过物体传播有吸收、反射和透射三种方式。对于不透明制品来说，大部分光线会被其表面吸收或反射。吸收和反射的光线在经过透明度等校正后按波长分解成不同的颜色成分，形成光谱图。该光谱图通常由 400--700nm 波段的各色光组成。为简化计算，最终配色后的颜色的反射率以 20nm 为间隔的光谱数据来表示。对于不透明材料而言，吸收系数 K/散射系数 S 的比值与反射率 R 之间存在一定关系，具体请参考文献[1] 《计算机配色理论及算法的研究》中的 K-M
光学模型。基于光学模型得到的颜色参数，可应用于色差的计算。通常，使用色差(不超过 1)来作为配色效果好坏的标准。色差计算方法参考文献[2]《基于 CIELAB均匀颜色空间和聚类算法的混纺测色研究》中的 CIELAB 色彩空间的总色差计算方法。其中颜色参数 L*(明度)、a* (红绿色度)和 b* (黄蓝色度) 计算中出现的三刺激值 XYZ 的计算方法如下:
其中，S(a)为光谱能量分布，x(λ),y(λ),z(λ)为观察者光谱三刺激值,S(a)分别与x(λ),y(λ),z(λ)相乘为固定值见附件 1。 R()为光谱反射率，k值约为 0.1，d(a) 为测量物体反射率波长间隔，本题d(a)=20nm。
不透明制品配色问题，就是基于光学模型，设计不透明制品的配色模型。相较于人工配色，节省大量人力、物力和财力，对减少能耗具有重要意义。针对某一不透明制品，已知红、黄、蓝 3 种着色剂在不同浓度不同波长的K/S 值以及基底材料在不同波长下的 K/S 值，见附件 2。其中，浓度=着色剂克重/基材重量。每个着色剂的吸收系数 K/散射系数 S 的比值具有加和性，详见文献[1] 《计算机配色理论及算法的研究》中的 K-M 单常数理论。现有 10 个目标样(二到三种着色剂混合制成)的 R 值，见附件 3。结果展示请保留 4 位小数。请建立数学模型解决如下几个问题:
问题 1: 请分别计算附件 2 中三种着色剂在不同波长下 K/S 与浓度的关系并将关系式与拟合系数填写在表格中。
为了计算附件2中三种着色剂（红、黄、蓝）在不同波长下的K/S与浓度的关系，我们可以使用适当的数学拟合方法来拟合数据。常见的拟合方法包括线性拟合、多项式拟合和指数拟合等。在这里，我们将使用多项式拟合来得到函数关系式和拟合系数。
假设在附件2中，红、黄、蓝三种着色剂的K/S值分别用R(λ)，Y(λ)，B(λ)表示，浓度用a表示。
在400nm到700nm范围内，我们需要找到适当的拟合函数形式。假设我们选择3次多项式拟合，即拟合函数形式为：
现在我们需要求解每个着色剂（红、黄、蓝）在不同浓度下的拟合系数c0、c1、c2和c3。请注意，这里我们假设每个着色剂的K/S值都可以用3次多项式来拟合，具体的拟合结果可能需要根据实际数据情况来调整拟合函数的次数。
问题 2: 请建立不透明制品配色的优化模型。在已知目标样的 R 值(附件 3)的前提下，基于光谱三刺激值加权表(附件 1) 与着色剂 K/S 基础数据库(附件2)，运用优化模型配出与目标样的色差最为接近的 10 个不同配方，要求色差小于 1。
不透明制品配色问题是一个重要的实际应用问题，涉及到颜色科学、光学模型、数学优化等多个领域的知识。在这个问题中，我们希望通过计算机方法来实现不透明制品的配色，以节省人力、物力和财力，并且实现与目标样的色差最小化，从而获得最优的配色方案。
问题分析：
1. 颜色参数和色差：
颜色的感知可以用颜色参数L*、a*和b*来表示，这是CIELAB色彩空间中的标准表示方式。L*表示明度，a*表示红绿色度，b*表示黄蓝色度。色差ΔE*则是用来衡量两种颜色之间的差异程度，ΔE*越小表示两种颜色越接近。
2. 光学模型：
光学模型是解决配色问题的关键。在不透明制品中，光线的吸收、反射和透射会影响颜色的表现。光学模型通过吸收系数K和散射系数S来描述光线的传播和反射情况，进而计算光谱反射率R。通过K-M光学模型和光谱能量分布S(λ)，可以得到不同着色剂在不同波长下的反射率R(λ)。
3. 数学优化：
配色问题可以视为一个数学优化问题，我们希望找到最优的着色剂浓度配方，使得配方与目标样的色差最小，并且色差要小于1。为了解决这个优化问题，我们可以采用各种数学优化算法，例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等，来搜索最优解。
解决方案：
1. 数据处理和拟合：
首先，需要处理附件2中的数据，得到每种着色剂在不同波长下K/S与浓度的关系。我们可以使用数学拟合方法，例如多项式拟合，来得到函数关系式和拟合系数。
2. 光学模型计算：
接下来，根据光学模型和附件1中的光谱能量分布S(λ)，可以计算每个配方的颜色参数L*、a*和b*。这需要根据配方的着色剂浓度来计算光谱反射率R(λ)，然后根据R(λ)计算颜色参数。
3. 数学优化：
建立目标函数和约束条件，将配色问题转化为数学优化问题。我们希望最小化色差ΔE*，并且要满足每种着色剂的浓度在0到1之间，并且一共有10个配方。采用合适的数学优化算法，例如遗传算法，来搜索最优解。
4. 结果评估：
在得到优化的配方后，需要对配方进行评估。计算每个配方与目标样的色差ΔE*，确保色差小于1，从而满足题目的要求。
5. 结果展示：
最后，将最优的10个配方的浓度和色差进行展示，并对结果进行分析。可以观察不同着色剂浓度对最终颜色效果的影响，并分析为什么这些配方的色差最小。
综上所述，不透明制品配色问题涉及到多个学科的知识，并且需要充分利用数学优化方法来解决。通过合理的数据处理、光学模型计算和数学优化算法，可以得到最优的配色方案，满足色差小于1的要求，从而为不透明制品的配色提供有力的支持。
为了求解这个优化问题，我们可以使用数学优化方法，例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。这些算法可以在给定约束条件下搜索最优解。
下面是一个示例代码的部分，使用遗传算法来解决这个优化问题。
问题 3: 在问题 2 的基础上，考虑成本控制和批量配色，改进配色模型。对2kg 的基底材料进行配色，求出与目标样(附件 3)之间色差最为接近的 10 个不同配方，要求色差小于 1。色母粒单位克重价格见附件 4。
问题分析：
目标： 在问题3中，我们的目标是实现不透明制品的配色，使得与目标样（附件3）之间的色差最小，同时要考虑色母粒的成本，以最小化配色成本。
问题要素：
着色剂和基底材料：假设有三种着色剂，分别为红、黄、蓝，记为D1、D2、D3。同时，假设基底材料的总重量为2kg。
浓度：每种着色剂的浓度用a1、a2、a3表示，浓度范围为0到1之间。这些浓度值决定了着色剂在配方中的使用量。
目标样：附件3中给出了10个目标样的R值，我们希望配色后的颜色接近这些目标样。
光学模型：通过光学模型，我们可以计算每个配方的颜色参数L*、a和b，以及与目标样的色差ΔE*。
优化目标： 在考虑成本的情况下，优化目标是找到最优的10个不同配方，使得配方与目标样的色差最小，并且最小化配色成本。
优化约束条件：
每种着色剂的浓度在0到1之间，即 0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 1, 0 ≤ a3 ≤ 1。
所有配方的总数为10个，即 N = 10。
色差小于1，即 ΔE*_i < 1，其中 i = 1, 2, ..., N。
建立优化模型： 我们可以将这个问题建模为一个数学优化问题。首先，我们需要计算每个配方的颜色参数和色差，然后设置优化目标和约束条件。在优化过程中，我们需要同时考虑配方的色差和成本，以找到最优的10个配方。
求解优化模型： 为了求解这个优化问题，我们可以使用各种数学优化方法，例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。这些算法可以在给定约束条件下搜索最优解。
结果评估： 在得到优化的配方后，我们需要对配方进行评估。计算每个配方与目标样的色差ΔE*，确保色差小于1，从而满足题目的要求。同时，我们还需要评估每个配方的成本，以了解是否满足成本控制的目标。
结果展示： 最后，将最优的10个配方的浓度和色差进行展示，并对结果进行分析。可以观察不同着色剂浓度对最终颜色效果的影响，并分析为什么这些配方的色差最小。同时，我们还需要分析成本方面的结果，看是否满足成本控制的要求。
下面是部分代码展示：
问题 4: 在实际生产中，配色所需要的着色剂越少越好，基于此，在问题 3的基础上，寻找附件 3 中前 5 个样本的最优的配色方案，要求每个样本配出 5个不同的配方且色差小于 1。
在问题4中，我们需要在实际生产中尽量减少所需的着色剂种类，同时满足每个样本配出5个不同的配方，并且色差小于1的要求。下面将详细分析问题并提供代码的思路。
问题分析
1、目标： 在实际生产中，我们希望降低成本和节约资源，因此目标是尽量减少所需的着色剂种类，同时满足配色的色差小于1的要求。
2、问题要素：
着色剂和基底材料：假设有三种着色剂，分别为红、黄、蓝，记为D1、D2、D3。同时，假设基底材料的总重量为2kg。
浓度：每种着色剂的浓度用a1、a2、a3表示，浓度范围为0到1之间。这些浓度值决定了着色剂在配方中的使用量。
目标样：附件3中给出了10个目标样的R值，我们仅关注前5个样本，即R1到R5。
光学模型：通过光学模型，我们可以计算每个配方的颜色参数L*、a和b，以及与目标样的色差ΔE*。
3、建立优化模型：
我们将问题4建模为一个多目标优化问题。优化目标包括两个方面：
最小化着色剂种类的数量，即最小化使用的着色剂的个数。
最小化配色成本（与问题3相同），同时保证配色的色差小于1。
4、优化约束条件：
每种着色剂的浓度在0到1之间，即 0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 1, 0 ≤ a3 ≤ 1。
所有配方的总数为5个，即 N = 5。
色差小于1，即 ΔE*_i < 1，其中 i = 1, 2, ..., N。
代码思路
导入数据： 首先，我们需要导入附件2、附件3和附件4中的数据，分别得到着色剂K/S基础数据库data2、目标样R值数据data3和色母粒单位克重价格数据data4。
定义计算颜色参数和色差的函数： 我们可以根据问题2中的计算方法，定义函数来计算每个配方的颜色参数L*、a*、b和与目标样的色差ΔE。
定义目标函数： 在问题4中，目标函数由两部分组成：最小化着色剂种类的数量和最小化配色成本。我们需要在目标函数中调用计算颜色参数和色差的函数。
定义约束条件： 我们需要定义每个配方的约束条件，包括浓度在0到1之间的限制、总配方数为5的限制和色差小于1的限制。
求解优化问题： 我们可以使用多目标优化算法，例如遗传算法的多目标优化扩展，来解决问题4。这样的算法可以同时考虑多个优化目标，并生成一组非支配解（Pareto最优解集）。
结果评估： 在得到优化的配方后，我们需要对配方进行评估。计算每个配方与目标样的色差ΔE*，确保色差小于1，从而满足题目的要求。同时，我们还需要评估每个配方使用的着色剂种类的数量。
结果展示： 最后，将最优的5个不同配方的浓度和色差进行展示，并对结果进行分析。可以观察不同样本的最优配方使用的着色剂种类和浓度，分析着色剂的优化策略。
优化结果： 我们需要查找多目标优化算法的非支配解（Pareto最优解集），这些解表示不同的着色剂使用组合和对应的色差情况。选择最优解集中的5个配方作为问题4的优化结果。
由于问题4涉及到多目标优化，需要寻找一组非支配解，所以需要使用特定的多目标优化算法。
综上所述，我们可以通过代码实现问题4的优化求解，得到最优的5个不同配方，使得着色剂种类尽量少，同时满足色差小于1的要求，以实现成本节约和资源利用的优化。
