接着学习函子，函子是范畴之间的结构保持映射。
给出两个函子，通过逐点复合的方式可以得到一个新的函子，可以验证，这种复合运算满足结合律，并且存在恒等态射。
于是，可能有人就粗心的认为范畴和函子也能构成一个新的范畴。然而这种说法是不准确的，范畴公理要求任意两个对象之间的态射可以构成一个集合，但是两个范畴都包含了一个类的对象，所以他们之间的所有函子组成的应该是一个类，而不是一个集合。
因此，在范畴论中要时刻注意区分集合与类。
这就引出了这样的定义，一个范畴称之为小范畴，等价于它的对象所组成的类是一个集合。注意，类是比集合大的概念，集合一定是类，类不一定是集合。
于是就有结论，小范畴和函子可以构成一个新范畴。因为集合之间的全体函数依然构成一个集合。
一些明显的范畴例子
集合范畴：集合与映射
拓扑空间范畴：拓扑空间和连续映射
群范畴：群和群同态
带幺交换环范畴：带幺交换环和环同态
实向量空间范畴：实向量空间和线性变换
实巴拿赫空间范畴：实巴拿赫空间和有界线性泛函
集合和单射
实巴拿赫空间和线性收缩？？这个没见过，不清楚
一些数学构造也能视为范畴
a.对象为自然数，箭头是n到m的矩阵，规模为n*m，复合是矩阵的通常乘法。这里会有疑惑，因为这里的箭头不再是映射了，可以理解为序对的一个对应。，一个序对对应一个由矩阵构成的集合。
b.一个偏序集也可视为范畴，对象为集合元素，态射定义为，于是复合就是传递性，恒等就是自反性。这两个性质在偏序的定义中已经满足了。
c.任意集合可视为范畴，对象为集合元素，态射只有恒等态射。这样的范畴称之为离散范畴，离散的含义可以考虑离散拓扑，逐点而无关联。
d.幺半群可视为只含一个对象的范畴，态射集就是M自身，复合律是幺半群自身的乘法，幺半群其实就像一个函数作用。每个群都是幺半群，区别在于幺半群中的元素不保证逆的存在。既然幺半群都是范畴了，群自然也是范畴，带幺环也是范畴，此时复合律由环的乘法给出。
暂时先到这吧，内容比较多，虽然说学习范畴论最大的乐趣就是数学对象的联系性，但是，这也不可避免的要首先了解许多数学结构，在充分了解的基础上才能真切的体会到这种联系性。像上面的这些结构，一类是结构化集合和结构保持映射，虽然有着共性，但本身就有非常丰富的内容，一类是更加广义的数学结构，这些才是未开发之地，带来了新的问题，显示了理论的活力。不过，这些都无所谓，学习数学是寻求一种乐趣，寻求一种美的享受。无论是机械证明的美，创造性的美，还是联系性的美，通过辛苦的学习体会到这种美就是最大的快乐了。
