集合上的每一种数学结构都有这样的映射：与该结构相容的映射，或者说是保持这种数学结构的映射。比如，群之间有群同态，向量空间之间有线性映射，拓扑空间之间有连续映射。
于是，这些共性引出了新的数学结构，范畴，它包含带有预先定义的结构的集合，姑且称为结构集，还有这些结构集之间的保持这种结构的映射。
准确定义，一个范畴C包括
1.一个类C，这个类中的元素称为范畴中的对象
2.对于每一对对象，有一个集合C（A，B），集合中的元素称为由A到B的态射，或者箭头
3.对于每三个对象，复合律成立
4.对于每个对象，都有一个恒等态射
这些数据服从下面的公理
1.结合公理：
2.恒等公理：
态射f记作，A称为定义域，B称之为值域（这里的值域与函数的值域含义不同，只是出于习惯使用，这里称为域，对偶域比较合适，co-前缀表达的就是对偶的含义）
交换图，一个图称之为交换的，等价于从同一起点出发，到达同一终点的所有箭头的复合是相等的。比如上图，从A到D有两条路，交换时就成立。其他的交换图类比可得。
恒等态射是唯一的，熟悉的唯一性证明。
范畴A到范畴B的函子F包括
1.范畴A，B对象之间的映射，记作
2.范畴A中任意一对对象之间态射的映射，记作
函子满足或者说保持复合律，恒等态射
先到这吧，内容有点多。为什么这样定义函子，因为范畴虽然新，但还是一种数学结构，同样适用于结构集和结构保持映射那一套。函子的性质其实就是对范畴公理的保持，与群同态对群公理的保持没有什么区别。
