The Sleeping Beauty Problem
睡美人自愿参加一个实验，她被告知以下规则：
实验人员将在星期天使她入睡，并将投掷硬币决定采用何种后续实验程序。
如果硬币正面朝上，实验人员将在星期一唤醒她，然后问她，现在觉得那枚实验用硬币掷出了正面的概率是多少？回答完问题后，实验人员会让她服下使她遗忘当天所发生的事的药物，然后使她入睡。星期三实验人员唤醒睡美人并结束实验。
如果硬币反面朝上，实验人员将在星期一和星期二分别唤醒她，然后问她，觉得那枚实验用硬币掷出了正面的概率是多少？回答完问题后，实验人员会让她服下使她遗忘当天所发生的事的药物，然后使她再次入睡。星期三实验人员唤醒睡美人并结束实验。
如果睡美人是理性的，当实验人员唤醒她并向她提问时，她会如何回答？
简单说，硬币掷出正面就只在星期一提问一次，反面就分别在星期一和星期二各提问一次。但由于服了药物，睡美人不知道被提问时是星期几，也不知道第几次被提问。
这是一个争议极大的悖论。有两种常见的答案：
一种答案是1/3。硬币掷出正面后在星期一被提问、硬币掷出反面后在星期一被提问、硬币掷出反面后在星期二被提问3种情形的概率是相同的，硬币掷出正面后在星期一被提问是其中的一种情形，所以有1/3的概率。而硬币掷出正面与“硬币掷出正面后在星期一被提问”的可能性是相同的，所以也有1/3的概率。
另一种答案是1/2。掷公平的硬币掷出正面和反面的概率分别是1/2。不论硬币掷出正面朝上还是反面朝上，睡美人被叫醒并被提问这一事件是必然会发生的，只是发生的次数不同。所以这一事件的发生不会改变硬币正反的概率。睡美人认为硬币正面朝上的概率应该是1/2。在整个实验过程中，睡美人没有收到新的信息。硬币掷出正面的先验概率是1/2，她在实验中醒来后没有获得新的相关信息，所以她应该继续相信这个概率是1/2。假如概率是1/3的话，那睡美人在投掷硬币前就知道有1/3的概率掷出正面。这岂不荒谬？
这个问题的雏形是阿诺德·祖博夫（Arnold Zuboff）在20世纪80年代中期最初提出的。亚当·埃尔加（Adam Elga）在论文《自我定位信念与睡美人问题》中提出了这个问题。尼克·博斯特罗姆（Nick Bostrom）还提出了另一个“极限睡美人”版本，其与原来版本的不同之处在于，如果硬币掷出反面，睡美人会被唤醒一百万次。这种情况下，很显然每次睡美人被问的时候，硬币掷出了反面的概率是极大的。博斯特罗姆以此来驳斥1/2概率的观点。
破解
这个悖论是由于在改变概率的信息出现后仍错误地认为后验概率未发生变化而导致的，也是由于概率的错误定义而导致的。
从醒来后被提问的睡美人的角度看，正面且星期一、反面且星期一、反面且星期二这三种情形具有同等概率，并且三种情形互斥穷尽，因此每个情形发生的概率都是三分之一。那么，正面且星期一的概率是三分之一，也就是说那枚硬币被掷出了正面的概率是三分之一。
认为概率为1/2的观点其主要论点在于，睡美人醒来后相比醒来前并没有获得额外相关信息，因此不能更新概率。也就是说醒来后的后验概率与醒来前的先验概率是相同的，而掷公平的硬币得到正面的先验概率是1/2，所以醒来后的后验概率也应该是1/2。
然而，这种观点忽略了当睡美人被告知游戏规则的时候，她就已经得到了额外信息。根据游戏规则，她知道她有可能面临的情形是正面且星期一、反面且星期一、反面且星期二，而不可能是正面且星期二。所以，她得知游戏规则前的先验概率是1/2，就是说：掷一枚公平的硬币掷出正面的概率是1/2。在她得知游戏规则后的后验概率是1/3，就是说：每当她被依据这种特定的游戏规则唤醒、提问时，她应当相信那枚硬币掷出了正面的后验概率是1/3。
假如以被唤醒提问作为一条先验概率和后验概率之间的分界线，那么确实先验概率和后验概率是相同的，唤醒和提问是必然会发生的事件，没有额外的信息使概率发生变化。但是，这表示睡美人应当相信先验概率和后验概率均为1/3，而不是均为1/2。
每一种悖论都能告诉我们些什么：不要做哪些错误的推理、不要想当然地假设一些逻辑上不成立的前提。而这个悖论非常与众不同。一个叙述条理清晰、已知条件充足的题目，解答者竟然有如此大的分歧，它预示着存在我们公认的知识体系以外的东西。比如，一种后验概率的计算却不能应用贝叶斯公式或许表明还存在其他的用于计算后验概率的方法。
本书作为一种假说提出一种基于自我抽样次数的后验概率公式。以睡美人问题为例：
以上表格显示的计算结果支持1/3后验概率的结论。（表格第2列乘以第3列等于第4列，第4列除以第4列的加总等于第5列。）
下面创建另一个睡美人问题的版本。假设决定如何唤醒睡美人并提问的是一枚骰子而非硬币。睡美人被唤醒并提问的次数等于骰子的点数。现在睡美人被唤醒并提问，骰子掷出了1点到6点的概率各是多少？
以上表格表明，骰子掷出了不同点数的概率是不同的。比如掷出1点的概率只有4.76%，而掷出了6点的概率有28.57%，是前者的6倍。
再回到原来的问题。掷一枚公平的硬币，旁观者认为掷出正面的概率是1/2，而睡美人认为掷出正面的概率是1/3，谁错了呢？
他们都没错。首先，概率即理性认识主体的置信度，取决于认识主体。旁观者和睡美人在得知游戏规则前对硬币掷出正面的先验置信度是相同的，都是1/2。旁观者在得知游戏规则时，认为睡美人参与的游戏跟自己毫无关系，因此不会改变他对硬币掷出正面的置信度，所以他对硬币掷出正面的置信度仍是1/2。但睡美人在得知游戏规则后，知道自己在硬币掷出正面或反面时的自我抽样次数是不同的，因此就能改变对硬币掷出正面的置信度。所以对她而言，硬币掷出正面的概率变成了1/3。也就是说，睡美人不必等硬币被掷出或者在实验中被叫醒并提问，就可以知道答案是1/3。
就睡美人而言，她认为硬币掷出了正面的概率是1/3，表示她相信，只要她足够多次地在类似的实验中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/3的次数她的猜测是正确的。作为一名旁观者，认为硬币掷出了正面的概率是1/2，表示他相信，只要他足够多次地在类似的情形中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/2的次数他的猜测是正确的。
所以，在得知游戏规则后，旁观者应该继续相信实验中的那枚硬币掷出了正面的概率仍是1/2；睡美人应该相信每次被唤醒并提问时同一枚硬币掷出了正面的概率是1/3；旁观者也应该相信“睡美人应该相信同一枚骰子掷出了正面的概率是1/3而非1/2”。三者并不矛盾。如果说表面看上去有矛盾，那是因为我们往往错误地理解了概率。相反地，只要我们认识到概率的本质，将概率等同于理性认识主体的置信度，就可以破解悖论。
