信念
信念是指认识主体在某时点以某较大置信度相信的命题。只要可以用“某认识主体+在某时点+以某种较大程度的置信度相信+命题”的形式来表达，那么该命题就是该认识主体在该时点以该置信度相信的信念。比如“我现在有99%的把握相信‘今天是星期五’”，那么“今天是星期五”就是我现在以99%的置信度相信的信念。
信念是命题
陈述是指表示判断的句子。
命题是指在逻辑上可以判断真假的陈述。
我们也可以让命题等同于陈述，并对在逻辑上可以判断真假的陈述另行命名，比如分别称它们为“有意义的命题”和“无意义的命题”。但是，这样定义对现有的与命题相关的知识体系影响较大，可能带来种种不便。出于效率的考虑，修改命题的定义似乎更方便。因此，我把命题定义为有意义的陈述。这样，一个陈述可以是一个命题，也可以是一个无意义的陈述。
“今天是星期五”或“今天不是星期五”，“他来了”或“他没有来”，“她在吃苹果”或“她没在吃苹果”，这些都是表示判断的句子，都是陈述。它们在逻辑上也都可以被判断真假，因此都是命题。
而“今天是不是星期五呢？”“请吃一个苹果”“啊，蓝天、白云、大海！”就不表示判断，不是陈述，也当然不是命题。
根据命题的定义，在逻辑上就无法判断真假的陈述都不是命题。一个命题在逻辑上要么是真的要么是假的，而不能既真又假或不真不假。为此，一个有意义的命题必须语义清晰，在逻辑上存在明确的用于判定真假的标准。
假如一个陈述语义不清、判断模棱两可或者缺乏判断依据就不能在逻辑上判断真假。比如，说“书康是肯洛”，但没有定义“书康”和“肯洛”是什么，那么“书康是肯洛”就不能被称为命题。
再比如，对于“我正在说的这句话是假的”这样一个陈述，由于在逻辑上无法给出一个标准来判断陈述的真假，也不能被称为命题。而这正是一个说谎者悖论。
信念是认识主体所相信的，而相信一个逻辑上不能被判断真假的陈述是没有意义的。因此，所有信念的对象都必须是命题。
信念伴随较大的置信度
置信度是指认识主体对其判断的信心。
任何认识主体的认识能力都是有局限的，因此作为认识的成果的信念往往具有不确定性。用置信度可以描述信念的这种不确定性。反之，如果不伴以置信度，表述就不能区别不同确定性的信念。比如，有一位气象学家经过测算后，以90%的置信度相信明天会下雨，而另一位气象学家经过测算后，以99%的置信度相信明天会下雨。那么如果仅仅以“明天会下雨”来作为这两位气象学家的信念，就不能表达这两位气象学家对于其本人作出的“明天会下雨”这一判断的不同的相信程度。
自然语言中，认识主体和置信度往往会被省略，表示 “我以足够高的置信度相信……”。如果一个人以足够高的置信度相信今天是星期五，他就会说“今天是星期五”。
如果认识主体以某个置信度相信某个命题，那么他相信如果他足够多次数地相信这样的命题，他判断正确的次数占全部次数的比例等于该置信度。比如，你以90%的置信度相信你可以通过一门考试，那么你应当相信如果你参加100次这样的你有90%把握的考试，并且每次都判断能够通过考试，你会有大约90次判断正确，有大约10次判断错误。不仅如此，对于凡是你以90%的置信度作出的任何判断，你都应当相信你会有大约90次是判断正确的，有大约10次是判断错误的。
我为什么要说置信度是对判断正确的信心，而不直接说置信度是对命题正确的信心呢？在考试的例子中，两者似乎并无差异——你以90%的置信度相信你可以通过一门考试，那么你也应当相信如果你参加100次这样的你有90%把握的考试，你会有大约90次通过考试，有大约10次不能通过。但是在后文的睡美人问题中我们就会遇到一个难题。这个难题只有通过将置信度定义为对判断正确（而非命题正确）的信心才能正确解答。
一个理性认识主体在同一时点对一个命题的置信度和对该命题的否命题的置信度之和为100%。根据置信度的定义，这是显然的。认识主体以越高的置信度相信某命题成立，必然以越低的置信度相信其否命题成立。两个置信度之和必定为100%。比如，明天要么下雨，要么不下雨。你以70%的置信度相信“明天会下雨”，你就应该以30%的置信度相信“明天不会下雨”。
一个理性认识主体越是相信一个命题是真的，就应该越是相信其否命题是假的；越是相信一个命题是假的，就应该越是相信其否命题是真的。如果认识主体完全相信一个命题是真的，即置信度为100%，那么就应当同时完全相信其否命题就一定是假的，即置信度为0；如果完全相信一个命题是假的，即置信度为0，那么应当完全相信其否命题就一定是真的，即置信度为100%。如果认识主体完全不知道一个命题的真假，即置信度为50%，那么就应当同时完全不相信其否命题的真假，即对否命题的置信度同样为50%。这种情况下，信念并不存在。
从命题到信念中间还差一个相信的步骤。我们看到听到一个命题。它不必然成为我们的信念。我们只是把看到或听到这个命题这一事实作为信念。比如，一个人在某山洞的石壁上看到“欲练神功须有恒心”八个字。那么如果他不怀疑自己的眼神的话，他获得的信念是“山洞的石壁上写着‘欲练神功须有恒心’八个字”这一命题。假如他相信石壁上写的，那么他额外获得的信念是“欲练神功须有恒心”这一命题。假如他不相信石壁上写的，那么“欲练神功须有恒心”就不是他的信念。他的信念仅仅是“山洞的石壁上写着‘欲练神功须有恒心’八个字”这一命题。
信念依赖于认识主体
信念依赖于认识主体。当我们在谈论信念的时候，我们必然是在同时谈论某认识主体的信念。不同人的信念是不尽相同的，因为他们所相信的命题可以不同，对于同一命题的置信度可以不同。甲可以相信明天会下雨，乙也可以相信明天不会下雨，丙可以以90%的置信度相信明天会下雨，丁也可以以70%的置信度相信明天会下雨。所以，一个人的信念可以不同于另一个人的信念。如果不指明认识主体，就无法用置信度来描述信念。
信念对认识主体的依赖表现为不同认识主体的信念是不尽相同的。不同认识主体所相信的命题可以不同、对于同一命题的置信度可以不同。
单个认识主体的信念是个人信念。个人信念可以有很大的随意性，个人可以以任意的置信度相信任意命题。
如果一个群体的认识主体拥有相同的某些信念，这些信念可以被称为这些认识主体的共同信念或共识。不同认识主体所相信的命题可以千差万别。因此，共识是难以达成的，因为每个认识主体都有自己的认知和判断。但是，在某些特定领域和背景下，人们可以通过交流和讨论达成一定程度的共识。通过基于置信度的知识论，更容易描述共识。共识是群体对相同命题的相近的置信度。不同认识主体的置信度可以不同，但只要是足够接近的，通常就可以被认为是共识。
信念随时间变化
无论单个认识主体的个人信念，还是多个认识主体的共同信念，都可能随时间的推移而变化。
对于个人来说，比如早上看到晴空万里，你所拥有的信念是，今天不会下雨。但下午的时候乌云密布、电闪雷鸣，这时你拥有的信念是，今天会下雨。这种随时间变化的信念，是认识主体对外部世界认识的一种表现。当外部世界发生变化时，认识主体也会更新自己的信念。
信念随时间的变化还表现为群体共识的变化，他们的信念也可以因为新的证据而发生改变。例如，过去人们普遍认为大地是扁平的，但随着科学的发展，现在人们普遍认为地球是圆球形的。
信念随时间的变化是一个动态的过程，会随着新的证据和经验而不断更新。此外，为了更好地适应不断变化的环境和情况，我们对于世界的认识也应该是不断变化的。
信念随时间的变化更多地体现在置信度的变化上。比如，人们对一种药物的疗效的置信度，会随着时间和更多的实验证据而发生变化。从原先以70%的置信度认为有效，到后来的以90%的置信度认为有效，再到后来的以99%的置信度认为有效。这就是信念不断更新的过程。
知识的BIT定义
知识是指真信念（Belief in Truth或BIT）。由于真是指应当被相信的，因此知识表示相信应当相信的。
用作第一人称时，“我知道P”表示“P是真的，并且我相信P”。由于真是指应当被相信的，因此“我知道P”表示“P是应当被相信的，并且我相信P”。从一个认识主体相信P是应当被相信的可以推出他本人相信P。因此，“我相信P”是冗余的。所以，“我相信P”等同于“P是应当被相信的”或“P是真的”。
上述句子的否定形式是无效的。“我不知道P”表示“P是真的，但我不相信P”。由于真是指应当被相信的，因此“我不知道P”表示“P是应当被相信的，但我不相信P”。这是自相矛盾的，无效的。
但过去式是有效的。“我过去不知道P”表示“P是真的，但我过去不相信P”。由于真是指应当被相信的，因此“我不知道P”表示“P是应当被相信的，但我过去不相信P”。没有矛盾。
用作第二人称时，“你知道P”表示“P是真的，并且你相信P”。由于真是指应当被相信的，因此“你知道P”表示“P是应当被相信的，并且你相信P”。从一个认识主体相信“P是应当被相信的”不能推出别人相信P。因此，“你相信P”不是冗余的。所以，“你相信P”等同于“P是真的，并且你相信P”。
上述句子的否定形式是有效的，但有些奇怪。“你不知道P”表示“P是真的，但你不相信P”。没有矛盾。但听到这句话后对方可能马上就知道P了。
过去式就不奇怪了。“你过去不知道P”表示“P是真的，但你过去不相信P”。没有矛盾。
用作第三人称时，“他们知道P”表示“P是真的，并且他们相信P”。由于真是指应当被相信的，因此“他们知道P”表示“P是应当被相信的，并且他们相信P”。从一个认识主体相信“P是应当被相信的”不能推出别人相信P。因此，“他们相信P”不是冗余的。所以，“他们相信P”等同于“P是真的，并且他们相信P”。
上述句子的否定形式是有效的。“他们不知道P”表示“P是真的，但他们不相信P”。没有矛盾。
过去式也不矛盾。“他们过去不知道P”表示“P是真的，但他们过去不相信P”。没有矛盾。
对JTB定义的评价
传统的知识的定义是经确证的真实信念（justified true belief），包含三个条件：陈述是真实的、认识主体相信这个陈述、这种相信是有合理理由的。
知识是否必须是经确证的？这个要求很高。它要求认识主体不仅要知其然还要知其所以然。然而知其所以然又需要到什么程度呢？很多知识都是来自于他人的证言，而非本人的观察或研究，这些途径足够被认为能达到确证的程度吗？在濠梁之辩中，庄子知道鱼是快乐的，因为鱼出游从容。惠子知道庄子不知道鱼快乐不快乐，因为鱼快乐不快乐只有鱼才知道。庄子知道惠子不知道庄子知道不知道鱼快乐不快乐，因为庄子知道或不知道什么事只有庄子自己才知道……对于“确证”的要求使得知识变成不可知的。假如放弃“确证”的要求，那么庄子可以知道鱼是快乐的。惠子也可以知道鱼未必是快乐的，但不能说庄子不知道鱼是快乐的。所以，知其然是一种知识，知其所以然是另一种知识，不要将两者混淆。
知识是否必须是真实的？这种定义是符合语言习惯的，但无法涵盖不确定性知识。比如，一名气象学家以60%的置信度相信明天会下雨。“明天会下雨”显然不能被称为是真实的。但难道这名气象学家对于明天会不会下雨没有知识吗？显然也不能这么说。可见对于知识的真实性的要求不能照顾到认识主体不同程度的信念。此外，知识的否定形式中隐含的真实性也会导致悖论。比如，一个命题“甲小时候不知道地球是方的”。这个命题是真是假？假如是真的，那么地球是方的，但甲小时候不知道；假如是假的，表示“甲小时候知道地球是方的”，那么地球是方的，而甲小时候就知道。不论命题真假，地球都是方的。这岂不荒谬？
知识是否必须是信念？作为知识，认识主体得相信它。这是毋庸置疑的。如果一个人陈述一个命题但同时又说自己不相信它，他的这种陈述是自相矛盾的、无意义的；如果一个人陈述一个命题但同时自己不相信它，那么他说谎了。在这两种情况下，这个命题都不能被称为这个认识主体的知识。但是是否认识主体必须毫不怀疑地确信他所表述的命题是值得讨论的。这个要求否定了存在认识主体对各种知识的不同程度的相信，而只承认一种绝对的、毫不怀疑的相信程度。所以，知识必须是认识主体的信念。但为了更准确地描述知识，这种信念应该附带不同的置信度。有的命题被几乎毫不怀疑地相信是正确的。而有的命题被以很大的置信度相信是正确的。有的命题只是被以较大的置信度相信是正确的。甚至有的命题只是被以略大的置信度（如51%）相信是正确的。这些被以不同置信度相信的命题对于认识世界都可以有帮助。
此外，人的认知是变化的。传统的知识定义也未能考虑这一因素。我们今天所认为是正确的，可能明天我们认为是错误的。只有将信念与时间相关联才能更好地描述知识。
知识的来源
一切知识都取决于人的信念，而人相信什么和不相信什么都是一种思维活动。那么人的思维中是怎么产生这些知识的呢？此处根据知识的来源将知识分为理性知识和感性知识两大类。理性知识包括命名、定义、假说、推论四类。感性知识分为感知和情感两类。
命名是指为事物确定名称
命名是指为事物确定名称。为了语言交流的需要，任何事物都必须被赋予名称。而事物的名称即是最基本的知识。比如，见到水时，说“这是水”，而不称之为“泥土”。这样当有人说“水”时，我们知道他所指的是那种在河里常见的液体，而不是构成河岸和河底的固体。
命名是知识的一种。如果张三命名新生的儿子为李四，那么人们就可以把“张三的儿子叫李四”作为一项知识。
类别名称是指指称同一类事物的一个名称。要给每一件事物命名是困难的。假如没有“回形针”这个名称，而是给地球上每一个回形针都分别命名，那将是难以完成也毫无必要的任务。因此，为了语言交流的需要，有必要对一个类别的事物以相同的类别名称命名，就像可以用“回形针”来不特定地指称任何回形针。
比如，“苹果”是一种水果，但并不特指某个特定的水果，因此是类别名称。而“这个苹果”或“那个苹果”则是指某个特定的水果，因此是特定事物名称。太阳、月亮、地球、欧洲、各国国名、各地地名、人名等等也都是特定名称。
对于类别名的判断只有对该类别的事物都适用时才能成立。比如，“甘蔗是甜的”表示任何一根甘蔗都是甜的。比如，“运动有益于健康”，表示任何运动对于健康都是有益的。但考虑到自然语言的模糊性，日常生活中上述表达一般都是可以被接受的，尽管没有人能保证甘蔗都是甜的，也不是任何运动对健康都是有益的。其所表达的含义应该是，“一般来说，甘蔗都是甜的”及“一般来说，运动对健康都是有益的”。
同名是指不同特定名称的事物共用同一名称的情形。同名的情况对于沟通是很不利的。比如甲请乙到得月楼饭店吃饭，但是如果城东和城西各有一家得月楼，乙应该去哪一家呢？
这种同名的情况在生活中是常见的。解决方法是在名称的基础上加上区别性的描述，使之成为一个新的独一无二的命名，以消除同名的情况。上例中的解决方法是，甲应该告诉乙是在城东的得月楼吃饭。而“城东的得月楼”是一个他们所共同知道的城东的唯一的以“得月楼”命名的饭店。又或许他们知道别的城市也有“城东的得月楼”，那么甲需要说明是“本城城东的得月楼”，而“本城城东的得月楼”是他们所知的唯一化的名称。以此类推。当然，现实生活中可以不必这么复杂。如果沟通者相信同沟通对象间有共识，因而不会发生歧义时，他就可以用简单的类别名称，而无需使用更多的描述来确保一个唯一性的名称。如果上例中的甲和乙是邻居，城东的得月楼就在附近，周围人请客都喜欢去那儿，上次乙请甲吃饭也在城东的得月楼，那么或许甲说“得月楼”就已经足够了。
在同一思维过程中，如果以一个名称指称多个事物而不作区分，就会发生思维上的混乱。因此，在同一思维过程中，对于同名的名称必须予以区分。
一个名称的广义指称和狭义指称也是同名的情况，如果在同一思维过程中不予以区分，也会发生逻辑上的混乱。因此，在同一思维过程中，必须对广义指称和狭义指称予以区分。
多名是指同一事物被命名为不同的名称的情形。同一事物有时有多个不同的名称。例如，有一家公司的首席执行官姓白，有人叫她白总，有人叫她白女士。这天大家见到她来上班了，那么就可以说，“白总来上班了”。或者说，“白女士来上班了”。与同名的情况不同的是，多名现象通常不会引起思维混乱，但也要避免想当然地认为不同名称必然指代不同事物。
定义是指为名称确定的含义
接下来是如何确定名称的边界的问题，即如何判断是否应该用某个名称指称一个事物。因此，需要给名称下定义，符合定义的事物都可以用这个名称来指称，不符合定义的事物则不能用这个名称来指称。
定义是指为名称确定含义。假如，把“液体”定义为“具有一定体积但其形状随容器形状而改变的物体”，那么这项定义本身就是一项知识。
在同名的情况下，同一名称有不同的定义。但在同一思维过程中，同一名称不能有不等价的多个定义。定义是用来确定名称的边界以便确定事物是否可以用这个名称来指称的。一个名称如果有多个定义，如果按照名称的多个定义，对于某个事物是否可以用这个名称来指称都得出相同的结论，那么这些定义是等价的，可以相互替换。但如果按照这个名称的多个定义，对于某个事物是否可以用这个名称来指称会得出不同的结论，那么就会同时得出“这个事物可以用这个名称来指称”和“这个事物不能用这个名称来指称”这样两个矛盾的推论。所以，同一名称不能有不等价的多个定义。或者说，同一名称实质上只能有一种定义。
在多名的情况下，不同名称可以有相同的定义。
一个名称不能用其本身来定义。比如，把“液体”定义为“以液体的形式存在的物体”。
一般来说，多个名称也不能相互循环定义。比如，把“东山”定义为“西山东面的山”，把“西山”定义为“东山西面的山”；把“鸡蛋”定义为“母鸡产的卵”，把“鸡”定义为“鸡蛋中孵出的家禽”。但相互循环定义又是不能绝对避免的。否则，把A定义为B，B定义为C，C定义为D……如果不允许循环定义，则定义永无止境，字典的纸张也不够用。
假说是指被假定为真的命题
假说是指被假定为真的命题。假说是未被证明的，一旦被证明，假说就不再是假说了，而是别的知识的推论。反之，假说一旦被证伪，它也就被剔除出了知识体系。
理论是一种假说。理论的概括性使得较少数量的理论可以被推理出无穷无尽的知识。比如，通过万有引力定律，我们可以知道任意两个有质量的物体之间的引力。
公理是指不证自明的理论。公理和其他理论一样都是假说性质的知识，但由于公理处在知识体系的基础，要改变公理往往意味着整个体系的重建，难度较大。而其他假说作为知识体系的普通组成部分，其变更或置换的难度相对较小。但公理究其本质也是假说。公理和假说并没有实质上的界限。
推论是指通过推理得到的结论
推论是指通过推理得到的结论。推理是指按照逻辑规则从某些知识得到其它知识。
推论是推理的结果。推理是通过运用已有知识得出新知识的逻辑思维活动，使我们可以扩展知识。推论又可以作为新的前提用于进一步的推理得到更多推论，是更多知识的来源。推理的基本形式有：
演绎推理：从一般到特殊的推理。演绎推理是符合传统逻辑的。如：“所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。”
在后文基于置信度的逻辑学中，演绎推理的结论在性质上不一定成立。根据概率论中的乘法公式，若两个命题A和B相互独立，则它们同时为真的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。假设命题“所有人都会死”为真的概率为70%，命题“苏格拉底是人”为真的概率是70%，那么命题“苏格拉底会死”为真的概率为：
P(苏格拉底会死) = P(所有人都会死且苏格拉底是人)
= P(所有人都会死) × P(苏格拉底是人)
= 0.7 × 0.7
= 0.49
因此，命题“苏格拉底会死”为真的概率为49%。
在上述例子中，一个理性认识主体以较大置信度相信“所有人都会死”，也以较大置信度相信“苏格拉底是人”，但以较小置信度相信“苏格拉底会死”。也就是说，不能得出“苏格拉底会死”的结论。所以，演绎推理的成立是有条件的。
要从“所有人都会死”和“苏格拉底是人”，得出“苏格拉底会死”，认识主体得分别以足够大的置信度相信“所有人都会死”和“苏格拉底是人”，使得两个置信度的乘积仍是一个足够大的数值。
完全归纳推理是指由事物的穷尽的各部分的相同性质推理得出事物整体的性质。完全归纳推理在传统逻辑中是成立的。比如，北半球的苹果是甜的，南半球的苹果是甜的，所以地球上的苹果都是甜的。
完全归纳推理的可靠性同演绎推理是类似的。“地球上的苹果都是甜的”这一命题的真实性取决于“北半球的苹果是甜的”和“南半球的苹果是甜的”这两个命题的联合真实性。对前者的置信度必定不大于对后两者中任意一项的置信度。
其他条件相同，越复杂的推理越容易出错。因此，复杂的推理对于各个前提的置信度有更高的要求。
不完全归纳推理是指由事物的不穷尽的各部分的相同性质推理得出事物整体的性质。不完全归纳推理在传统逻辑中是不成立的。不完全归纳推理不是合逻辑的推理方式。比如，就算我们观察了一百万只乌鸦，发现它们都是黑色的，我们也不能打包票说所有的乌鸦都是黑色的，因为总有可能存在一只乌鸦不是黑色的。
但在基于置信度的逻辑学中，不完全归纳推理是成立的，并且是非常有用的更新知识的方式。如果通过随机抽样我们在一百万只乌鸦中没有发现不是黑色的乌鸦，那么我们就更有理由认为所有的乌鸦都是黑色的，尽管我们不能完全确定。这种推理方式在概率论和统计中被广泛应用，用于估计一个总体中的某种特性。
感知是指对事物的感觉
感知是指对事物的感觉。人类的感知主要包括视觉、听觉、触觉、嗅觉、味觉、本体感以及共济感等。实验是人为创造感知的机会，是感知的重要途径。而不通过实验的方式也有很多感知的机会，比如很多现象和事件的观测无需实验。
视觉感知指通过眼睛获取外界信息，对所看到的图像、颜色、光线、运动等进行感知。视觉感知可以说是人类最重要的感知方式。比如，通过视觉可以观察到，水是具有一定体积的，并且水的形状随着容器的形状而改变。
听觉感知指通过耳朵获取声音信号，对音乐、噪音、语言、环境声音等进行感知。听觉也是人类极为重要的感知能力。
触觉感知指通过皮肤对接触物体的形状、质地、温度、压力等进行感知。比如，可以用手指触摸来感知物体。
嗅觉感知指通过鼻子对气味分子进行检测，从而感知环境中的气味。
味觉感知指通过舌头对食物中的物质进行检测，从而产生不同的味觉体验，比如酸味、苦味、甜味等。
本体感指对身体内部器官的工作状况及动作产生的感觉，比如饥饿、口渴、疼痛等感觉。
共济感指在运动时对肢体位置、动作和力度的感觉。共济感与运动协调和身体控制有关。
这些感知都是直接的知识来源，比如以下这些知识：“天黑了”“这条鱼很腥”“这张桌子的表面是粗糙的”“我头晕”等等。
情感是指心理反应
情感是指心理反应。情感有喜悦、悲伤、恐惧、愤怒、厌恶、羞愧、内疚、骄傲、嫉妒、同情、感激等。每一种情感都可以被描述为在某种需要得到或未得到满足时的心理反应。例如，一种喜悦情感可能是当个人的安全、归属、成就或尊重等需要得到满足时产生的心理反应。一种悲伤情感可能是由于亲密关系、职业目标或个人价值相关的需要未获满足时产生的心理反应。一种恐惧情感可能是当个体的生理安全或情感安全的需要未获满足时产生的心理反应。一种愤怒情感可能是个人对实现自我表达、尊重或公正待遇的基本需要未获满足时产生的心理反应。一种厌恶情感可能是当卫生、道德或审美等需要未获满足时产生的心理反应。一种羞愧情感可能是个人因自己的行为未能满足社会规范或期望导致社交归属或尊严的需求未获满足时产生的心理反应。一种内疚情感可能是由于个人行为损害了他人，导致对正直行为和道德责任的需求未获满足时产生的心理反应。一种骄傲情感可能是当个人感觉自己的成就或行为超越常人，自我实现的需求得到满足时产生的心理反应。一种嫉妒情感可能是观察到他人获得个体渴望的爱情、成就或资源时，因竞争和自我实现的需求未获满足时产生的心理反应。一种同情情感可能是当面对他人遭受的痛苦而自己未采取缓解痛苦的行动，自我认同和道德价值需求未获满足时产生的心理反应。一种感激情感可能是因他人的行为满足了个体的需要时产生的心理反应。
“我很高兴”“我很想念你”“我同情他的遭遇”“我很感激你”等等，这些都是来自于情感的知识。这些知识都由“我”字开头。因为，情感是个人的心理反应，只有本人能够体验，他人只能推测。比如，“他很高兴”就不是一项来源于情感的知识。一个陈述者可能是提出这样一个假说，也可能是根据被观察者的笑容作出的推论。但陈述者无法直接体验被观察者“高兴”的情感。
知识的来源与学科分类
此处只探讨三大类别的学科的区别，即思辨类、科学类和美学类学科。
一方面，知识是否以及在何种程度上来源于感知是科学与纯粹思辨学科的界限。学科是指重理性的知识体系。所有学科都是重理性的，否则也不能被称为学科。所以，各个学科的知识来源都包含命名、定义、假说和推论。科学是在知识来源上重感知的学科。比如，化学知识很大程度上需要对现实世界和实验结果的观察，这些都是感知类知识。因此，化学是科学。社会学的知识很大程度上需要对现实社会和社会实验结果的感知。因此，社会学是科学。纯粹思辨类学科有哲学、逻辑学和数学等。总体来说，现代哲学的知识来源主要是理性的思辨。感知不是现代哲学所必需的。因此，哲学不是科学。逻辑学的知识来源不包括感知，因此逻辑学不是科学。数学的知识来源不包括感知，而是命名、定义、假说和推论这四类。因此，数学不是科学。如果说哲学可能或可能曾经含有科学成分的话，逻辑学和数学则是纯粹的、丝毫不含任何科学成分的学科。
另一方面，知识是否以及在何种程度上来源于情感是科学与美学类学科的界限。美学、伦理学、艺术学等学科的知识来源重情感。这些领域探究依赖于人类情感、价值观和审美的体验，它们在很大程度上依赖于人的内在感受和对外在世界的主观体验。例如，美学研究中对事物是否美的判断，这不仅仅基于外部对象的物理特性，还涉及人的情感反应。伦理学探讨行为是否是道德的，这些判断也往往源自内心深处情感体验。艺术学探讨艺术是否具有艺术价值，这种判断必然需要有情感的参与。因此，这些美学类学科都不是科学。
心理学是研究人的心理的学科，当然着重于研究人的情感。但情感是心理学的研究对象，而非心理学这一学科的知识来源。现代心理学是基于观察即感知研究心理现象的，因此心理学是科学。
先验置信度
抛一枚公平硬币的结果只能是正面或反面。理性的认识主体相信正面和反面的可能性是相等的；没有任何一面的可能性更大。因此，他们的信念应该反映出这种可能性的平等：
P(正面) + P(反面) = 1
由于 P(正面) = P(反面)，可知：
2 × P(正面) = 1
因此，P(正面) = 0.5，P(反面) = 0.5。
同样地，对于掷一个公平的骰子：
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
由于每个结果出现的可能性都相等：P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)，
可推出：6 × P(1) = 1
因此，P(1) = 1/6，同理，P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6。
通常，为假设分配一个先验的、初始的置信度是非常必要的。在没有相反信息的情况下，为结果分配相同的可能性是理性的。例如，相信掷一枚公平硬币和掷一枚公平骰子的先验概率分别为0.5和1/6是理性的。往往需要作出这样的选择，即为一个假说设定一个先验的、初始的置信度。在缺少信息的情况下，当一个置信度不比另一个置信度更大时，相信它们同样大是理性的。因此，当对于命题的真假毫无概念时，以50%作为先验置信度是理性的做法。依据观察和实验所提供的信息，利用贝叶斯公式可以更新置信度。
如果将先验置信度设为100%则表示认识主体认为一个命题是绝对正确的，这样的知识是认识主体的绝对信仰。即使有充足的相反的证据他也绝不改变其置信度，而是仍然完全地相信。任何与它不一致的证据只能表明这些证据是假的。因为，这正是100%置信度的含义，即丝毫不存在错误的可能性。类似地，如果将先验置信度设为0则表示认识主体认为一个命题是绝对错误的。即使有任何证据他也绝不相信。这种情况等价于对其否命题的100%相信的情形。100%的置信度不是认识主体的知识体系中所必要的。以不同程度地接近于100%的置信度的一系列知识也能够成为一个融贯的知识体系。
知识可以被更新
知识的更新是指认识主体对于命题的置信度发生的变化。由于认识主体对命题的置信度可以发生变化，所以，知识可以被更新。比如，你可能有这样的经验：一个正常人在一分钟前还说他知道“今天是星期五”，一分钟后又说他知道“哦，今天不是星期五”，因为他翻了日历知道自己刚才搞错了。这显然是可以被接受的。人有时会有错觉，所以往往亲眼所见、亲耳所听的也未必完全可靠。必须承认，人的感知受到种种限制。对于时间，越是久远的历史，越难以可靠地了解；越远的未来，越难以准确地预测。对于空间，人类对于遥远的空间的观测受限于光速和人的寿命；对于微小的物质的观测受限于观测设备。比如，通过视觉来了解世界，那在离我们一百万光年以外的宇宙正在发生的事，我们在一百万年内就无法知道。我们能见到的是一百万年以前的历史。我们现在所见到的星星可能早已不存在，而那一片漆黑的地方或许正亮着星星。假说也是可能出错的。回顾历史，许多曾经的理论已经被取代，作为取代者的理论又最终沦为被取代者。可以想象，我们今天奉为真理的理论也必有一些会在未来被抛弃。
一个理性认识主体的整个知识体系不能存在矛盾。如果一项知识同现有知识体系有逻辑上的矛盾，那么要么这项知识是错误的，要么现有知识体系是错误的。每当有这样的冲突，我们就面临着一个选择。要么那个单项的知识被作为错误的被舍弃，要么那个单项知识会改写整个现有知识体系，并成为一个更新后的知识体系的一部分。
贝叶斯公式
对于一个不能通过传统逻辑推理被证明或证伪的假说，人们首先只是按照经验来确定其正确性概率。假如有一些实验（或经验）可能被用来更新这种概率，那么每做一个独立实验，其结果如果同假说一致，就有理由提高这个假说的正确性概率；如果其结果同假说不一致，就有理由降低这个假说的正确性概率。
以英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）的名字命名的贝叶斯公式可以被用来以实验结果来更新假说的正确性概率。
请看下面的例子：
P(T0)=0.5表示假说正确的先验概率是50%；
P(T1)=0.5表示假说错误的先验概率是50%；
P(t0|T0)=0.99表示如果假说是正确的，那么实验的结果同假说一致的概率是99%；
P(t1|T0)=0.01表示如果假说是正确的，那么实验的结果同假说不一致的概率是1%；
P(t0|T1)=0.1表示如果假说是错误的，那么实验的结果同假说一致的概率是10%；
P(t1|T1)=0.9表示如果假说是错误的，那么实验的结果同假说不一致的概率是90%；
P(T0|t0)=？表示如果实验的结果同假说一致，求假说是正确的后验概率是多少；
P(T0|t1)=？表示如果实验的结果同假说不一致，求假说是正确的后验概率是多少。
根据贝叶斯公式，
用表格表示：
这个例子的含义是：有这样一种用于检验假说正确性的独立实验，其误真为假的概率是1%，其误假为真的概率是10%；在实验前被认为有50%正确性概率的假说，假如经过实验，实验结果与假说一致，假说正确性概率升高到91%；假如实验结果与假说不一致，则假说正确性概率降低到1%。
每一项可能证伪假说的独立实验未能证伪假说时，假说的正确性概率就会升高，伴随着越来越多的独立实验未能证伪假说，假说的准确性概率会逐渐接近100%。这样，假说就被实验所支持了。同样的，当实验结果与假说不一致时，假说的正确性概率就会降低。比如，在上面的例子中，独立实验的结果与假说不一致就可以将假说的正确性概率降低到接近于零的水平，即推翻假说。
贝叶斯公式失效的情形
睡美人问题是一个思想实验。
睡美人自愿参加一个实验，她被告知以下规则：
实验人员将在星期天使她入睡，并将投掷硬币决定采用何种后续实验程序。
如果硬币正面朝上，实验人员将在星期一唤醒她，然后问她，现在觉得那枚实验用硬币掷出了正面的概率是多少？回答完问题后，实验人员会让她服下使她遗忘当天所发生的事的药物，然后使她入睡。星期三实验人员唤醒睡美人并结束实验。
如果硬币反面朝上，实验人员将在星期一和星期二分别唤醒她，然后问她，觉得那枚实验用硬币掷出了正面的概率是多少？回答完问题后，实验人员会让她服下使她遗忘当天所发生的事的药物，然后使她再次入睡。星期三实验人员唤醒睡美人并结束实验。
如果睡美人是理性的，当实验人员唤醒她并向她提问时，她会如何回答？
简单说，硬币掷出正面就只在星期一提问一次，反面就分别在星期一和星期二各提问一次。但由于服了药物，睡美人不知道被提问时是星期几，也不知道第几次被提问。
这是一个争议极大的悖论。有两种常见的答案：
一种答案是1/3。硬币掷出正面后在星期一被提问、硬币掷出反面后在星期一被提问、硬币掷出反面后在星期二被提问3种情形的概率是相同的，硬币掷出正面后在星期一被提问是其中的一种情形，所以有1/3的概率。而硬币掷出正面与“硬币掷出正面后在星期一被提问”的可能性是相同的，所以也有1/3的概率。
另一种答案是1/2。掷公平的硬币掷出正面和反面的概率分别是1/2。不论硬币掷出正面朝上还是反面朝上，睡美人被叫醒并被提问这一事件是必然会发生的，只是发生的次数不同。所以这一事件的发生不会改变硬币正反的概率。睡美人认为硬币正面朝上的概率应该是1/2。在整个实验过程中，睡美人没有收到新的信息。硬币掷出正面的先验概率是1/2，她在实验中醒来后没有获得新的相关信息，所以她应该继续相信这个概率是1/2。假如概率是1/3的话，那睡美人在投掷硬币前就知道有1/3的概率掷出正面。这岂不荒谬？
这个问题的雏形是阿诺德·祖博夫（Arnold Zuboff）在20世纪80年代中期最初提出的。亚当·埃尔加（Adam Elga）在论文《自我定位信念与睡美人问题》中提出了这个问题。尼克·博斯特罗姆（Nick Bostrom）还提出了另一个“极限睡美人”版本，其与原来版本的不同之处在于，如果硬币掷出反面，睡美人会被唤醒一百万次。这种情况下，很显然每次睡美人被问的时候，硬币掷出了反面的概率是极大的。博斯特罗姆以此来驳斥1/2概率的观点。
这个悖论是由于在改变概率的信息出现后仍错误地认为后验概率未发生变化而导致的，也是由于概率的错误定义而导致的。
从醒来后被提问的睡美人的角度看，正面且星期一、反面且星期一、反面且星期二这三种情形具有同等概率，并且三种情形互斥穷尽，因此每个情形发生的概率都是三分之一。那么，正面且星期一的概率是三分之一，也就是说那枚硬币被掷出了正面的概率是三分之一。
认为概率为1/2的观点其主要论点在于，睡美人醒来后相比醒来前并没有获得额外相关信息，因此不能更新概率。也就是说醒来后的后验概率与醒来前的先验概率是相同的，而掷公平的硬币得到正面的先验概率是1/2，所以醒来后的后验概率也应该是1/2。
然而，这种观点忽略了当睡美人被告知游戏规则的时候，她就已经得到了额外信息。根据游戏规则，她知道她有可能面临的情形是正面且星期一、反面且星期一、反面且星期二，而不可能是正面且星期二。所以，她得知游戏规则前的先验概率是1/2，就是说：掷一枚公平的硬币掷出正面的概率是1/2。在她得知游戏规则后的后验概率是1/3，就是说：每当她被依据这种特定的游戏规则唤醒、提问时，她应当相信那枚硬币掷出了正面的后验概率是1/3。
假如以被唤醒提问作为一条先验概率和后验概率之间的分界线，那么确实先验概率和后验概率是相同的，唤醒和提问是必然会发生的事件，没有额外的信息使概率发生变化。但是，这表示睡美人应当相信先验概率和后验概率均为1/3，而不是均为1/2。
每一种悖论都能告诉我们些什么：不要做哪些错误的推理、不要想当然地假设一些逻辑上不成立的前提。而这个悖论非常与众不同。一个叙述条理清晰、已知条件充足的题目，解答者竟然有如此大的分歧，它预示着存在我们公认的知识体系以外的东西。比如，一种后验概率的计算却不能应用贝叶斯公式或许表明还存在其他的用于计算后验概率的方法。
本书作为一种假说提出一种基于自我抽样次数的后验概率公式。以睡美人问题为例，用一个简化的表格展示：
以上表格显示的计算结果支持1/3后验概率的结论。（表格第2列乘以第3列等于第4列，第4列除以第4列的加总等于第5列。）
掷一枚公平的硬币，旁观者认为掷出正面的概率是1/2，而睡美人认为掷出正面的概率是1/3，谁错了呢？
他们都没错。首先，概率即理性认识主体的置信度，取决于认识主体。旁观者和睡美人在得知游戏规则前对硬币掷出正面的先验置信度是相同的，都是1/2。旁观者在得知游戏规则时，认为睡美人参与的游戏跟自己毫无关系，因此不会改变他对硬币掷出正面的置信度，所以他对硬币掷出正面的置信度仍是1/2。但睡美人在得知游戏规则后，知道自己在硬币掷出正面或反面时的自我抽样次数是不同的，因此就能改变对硬币掷出正面的置信度。所以对她而言，硬币掷出正面的概率变成了1/3。也就是说，睡美人不必等硬币被掷出或者在实验中被叫醒并提问，就可以知道答案是1/3。
就睡美人而言，她认为硬币掷出了正面的概率是1/3，表示她相信，只要她足够多次地在类似的实验中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/3的次数她的猜测是正确的。作为一名旁观者，认为硬币掷出了正面的概率是1/2，表示他相信，只要他足够多次地在类似的情形中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/2的次数他的猜测是正确的。
所以，在得知游戏规则后，旁观者应该继续相信实验中的那枚硬币掷出了正面的概率仍是1/2；睡美人应该相信每次被唤醒并提问时同一枚硬币掷出了正面的概率是1/3；旁观者也应该相信“睡美人应该相信同一枚骰子掷出了正面的概率是1/3而非1/2”。三者并不矛盾。如果说表面看上去有矛盾，那是因为我们往往错误地理解了概率。为了解决这个悖论，必须认识到概率反映了理性认识主体的置信度，而置信度关乎于对做出正确判断的信心，而不是对命题本身正确性的信念。
基于自我抽样的后验概率
我提出了一种基于自我抽样次数的后验概率公式。它不同于基于事件结果的贝叶斯公式。贝叶斯公式用于基于A事件发生或不发生的先验概率和A事件发生或不发生时B事件发生或不发生的条件概率，计算B事件发生或不发生时A事件发生或不发生的后验概率。但在B事件为自我抽样的情形下，B事件是必然发生的，贝叶斯公式就不适用。而且也正因为如此，往往有错误的观点认为，抽样是必然事件，无论发生多少次抽样，后验概率也不会发生变化，而应当同先验概率保持相同。基于这样的错误观点将得出错误的结论。睡美人问题显示了这种错误。
而基于自我抽样次数的后验概率公式用于基于先验概率和不同情形下的自我抽样次数计算后验概率。在自我抽样的情形下，影响后验概率的是自我抽样次数。在得知不同情形下的不同的自我抽样次数时，理性认识主体即已得到了相关信息，足以使后验概率发生变化。公式如下：
其中，P（Ai|R）表示若按照R规则发生自我抽样则事件Ai发生的后验概率；
P（Ai）表示事件Ai发生的先验概率；
Si表示事件Ai发生时的自我抽样次数；
A1，A2，……An为互斥穷尽事件。
当事件结果只有两种情形时，简化的公式为：
下面基于概率的理性置信度定义证明，当事件结果只有两种情形时，简化的基于自我抽样次数的后验概率公式：
定义概率为理性认识主体的置信度，即在作出大量判断时判断正确的次数占全部判断次数的比例。
设E为试验次数，E→∞。
A1表示判断事件（即事件1）发生时，判断正确。
A2表示判断事件发生时，判断错误。（也就是说，表示判断事件2发生时，判断正确。）
P（A1|R）表示在抽样规则R下，大量次数地判断事件发生时，判断正确的次数与全部判断次数的比例，即抽样规则R下事件发生的后验概率。由第1）项的概率定义得出。
P（A1）表示未采用抽样规则R前，大量次数地判断事件发生时，判断正确的次数占全部判断次数的比例，即事件发生的先验概率。
EP（A1）表示未采用抽样规则R前，大量次数地判断事件发生，判断正确的次数。
S1表示根据抽样规则R，判断事件发生时的自我抽样次数。
EP(A1)S1表示根据抽样规则R，大量次数地判断事件发生，判断正确的次数。
同样地，EP(A2)S2表示根据抽样规则R，大量次数地判断事件发生，判断错误的次数。
EP(A1)S1+EP(A2)S2表示根据抽样规则R，大量次数地判断事件发生，全部判断的次数（包括判断正确的次数和判断错误的次数）。
EP(A1)S1/[EP(A1)S1+EP(A2)S2]表示在抽样规则R下，大量次数地判断事件发生时，判断正确的次数与全部判断次数的比例。
第5）项与第12）项的描述是相同的，即两个表达式是等价的，故：
P(A1|R)=EP(A1)S1/[EP(A1)S1+EP(A2)S2]=P(A1)S1/[P(A1)S1+P(A2)S2]
得证。
同理可证：P(A2|R)=P(A2)S2/[P(A1)S1+P(A2)S2]
上述两个公式的含义与前文用于解答睡美人问题的表格是等价的。
同理可证：
真是指应当被相信
真是指可信。或者说，真是指应当被相信。“真的”“应当被相信的”“可信的”三者是等价的。
命题在逻辑上有真假之分。注意，命题的定义已经排除了无意义的陈述。那么，当我们在说一个命题是真的时，我们到底在表达什么意思呢？
一个人说某命题是真的，就表示他说他相信这个命题。有没有可能他认为这个命题是真的，但他自己却不相信呢？不可能。这么说是自相矛盾的。就像摩尔悖论中，一个人说“天在下雨，但我不相信天在下雨”那样。说一个命题是真的就是说他相信这个命题，怎么能同时又说不相信这个命题呢？但他可以说，虽然别人不相信这个命题是真的，但他自己相信。比如，他可以说“虽然张三不相信天在下雨，但天在下雨”。这就不矛盾了。但此处的讨论要比摩尔悖论中的讨论更严格。一个人说，“天在下雨”是一个真命题，但我相信“天未必在下雨”这一命题。这是自相矛盾的。因此，一个人说某个命题是真的，就表示他说他相信这个命题。
那么，反过来是不是只要一个人说他相信一个命题就表示他说这个命题是真的呢？未必。他只是说他自己相信这个命题。这个命题有可能是假的，而那个人拥有错误的信念。比如，一个人说，我相信“天在下雨”这一命题，但“天在下雨”未必是一个真命题。这么说是谦逊的，并不自相矛盾。因此，一个人说他相信某个命题，并不表示他说这个命题是真的。
所以，从“是真的”可以推出“我相信”，但从“我相信”不能推出“是真的”，两者并不等价。
一个人说某命题是真的，他不仅表示自己相信这个命题，而且表示他相信人们也都应该相信这个命题，即这个命题是可信的。假如一个人说：某个命题是真的，但是人们未必应该相信这个命题或这个命题未必可信。这是自相矛盾的。比如，“‘天在下雨’这个命题是真的，但大家未必应该相信天在下雨”，或“‘天在下雨’这个命题是真的，但‘天在下雨’这一命题未必可信。”这么说都是自相矛盾的。
那么，反过来是不是只要一个人说大家应该相信一个命题或这个命题是可信的，就表示他说这个命题是真的呢？是这样的。假如这个命题未必是真的，他怎么会说大家应当相信呢？一个人认为大家应当相信一个命题或者说一个命题是可信的，正代表他认为这个命题就是真的。如果一个人既认为这个命题未必是真的，又认为大家应当相信这个命题或这个命题可信，那么他就是自相矛盾的。
所以，凡是“真的”就是“应当被相信的”或“可信的”。一个人说某命题是真的，就表示他认为这个命题应当被相信或是可信的。比如，我说“地球是圆的”这一命题是真的，就表示我认为“地球是圆的”这一命题应当被相信，或“地球是圆的”这一命题是可信的。假如我说“地球是圆的”这一命题是真的，但“地球是圆的”这一命题未必应当被相信或未必可信，那么这就是自相矛盾的胡言乱语。
凡是“应当被相信的”或“可信的”就是“真的”。一个人说某命题应当被相信或是可信的，就表示他认为这个命题是真的。比如，我说“地球是圆的”这一命题应当被相信或是可信的，就表示我认为“地球是圆的”这一命题是真的。假如我说“地球是圆的”这一命题应当被相信或是可信的，但“地球是圆的”这一命题未必是真的，那么这也显然是自相矛盾的胡言乱语。
所以，凡是“真的”就是“应当被相信的”，凡是“应当被相信的”就是“真的”。令T=真的，B=应当被相信的。则T⊆B，且B⊆T。在逻辑学章节我们将论述，命题的实质就是表达概念的隶属关系，而T⊆B且B⊆T等价于T=B。因此，“应当被相信的”等价于“真的”，应当被相信的就是真的，真的就是应当被相信的。同理，“可信的”也等价于“真的”。所以，“真的”“应当被相信的”“可信的”三者是等价的。
那么，我们是否有必要将陈述者的信念加入到“真”的定义中去呢？恐怕不需要。因为“应当被相信”的概念已经包含了“我相信”的概念。一个理性的人不能既认为一个命题应当被相信，而自己又不相信这个命题。这种情形正适用常见的我们对于信口雌黄的人的驳斥：“你说的恐怕连你自己都不信吧？”
真理与真命题
真理是指真实的命题。而真实的是指可信的。因此，真理就是可信的命题。
下面我想比较一下真理在中文和英文中的含义。中文的“真理”和英文的“truth”在某种程度上可以互相对应，但两者还是存在一些细微的差异。在中文中，真理强调的是对于事物本质和规律的认识。真理被视为客观存在的规律，带有理想色彩，具有最终的正确性。而英文的“truth”含义更广，可以表示任何一个真实的陈述。比如，英文中“I am telling the truth”对应中文的“我说的是真话”，而非“我说的是真理”。
既然真理是应当被相信的命题，真理就是已知的，否则何以能作出应当被相信的判断呢？“未知的真理”是一种自相矛盾的描述。但有没有这样一种可能，“真理”指未来某个时点人们普遍相信的命题，而“未知”指当前时点人们普遍不相信？比如，由计算机生成大量命题，剔除当前时点人们普遍相信的命题。在未来某个确定的时点，人们在剩余的命题中找出届时人们普遍相信的命题。这些命题就是这种在当前时点“未知的真理”。但是有两个问题：为什么是那个确定的未来时点（比如一千年后）而不是另一个更近（比如一百年后）或更远的时点（比如一万年后）？假如在比这个确定的未来时点更遥远的未来，人们普遍又不相信这些命题，我们还能不能在现在这个时点称之为“真理”呢？
脱离时点谈论知识将会导致思维的混乱。假如我们想要描述未来的知识，那就明确未来的时点。比如，我可以假设“p是一个现在人们普遍不相信但在一千年后人们将普遍相信的命题”。但那种反映事物本质的、与任何认识主体都无关的、具有最终正确性的“真理”是不存在的。
主观与客观
任何知识都必须依赖于认识主体而存在。不存在完全脱离于任何认识主体而存在的绝对的客观知识。这也就是说，知识是与认识主体相关联的，而不是独立于主体存在的。知识是信念，而信念是依赖认识主体的认知的。不存在完全脱离于任何认识的主体而存在的信念。
但从实用的角度，“客观”是一个有用的概念。让我们这样定义客观知识：
客观知识是指理性认识主体所相信的知识。“客观”即不依赖于特定认识主体的意思。那么“客观”并非绝对地不依赖于任何认识主体，因为任何认识都必须依赖于认识主体而存在。客观知识是指独立于任何特定认识主体的认知的知识。它不受个人信念的影响，而是基于普遍认可的理论。客观知识是不同认识主体之间沟通的基础。
相对应地，让我们这样定义主观知识：
主观知识是指特定认识主体所相信的知识。“主观”即依赖于特定认识主体的意思。主观知识反映了个人的信念，是由个体对世界的理解和解释构成的。
在如此定义主观和客观之后，我们就可以说，置信度可以是主观的。一个认识主体在某一时点对一个命题可以有一个置信度，另一个认识主体在同一时点对同一个命题可以有另一个不同的置信度，两者并不矛盾。但是，概率是客观的。概率是客观的置信度，或者说一个理性认识主体应当有的置信度。基于相同的前提在同一时点对同一命题的信念只能有一个概率，这个概率是一个不依赖于特定认识主体的置信度，而两个不同概率的并存是矛盾的、不理性的。
共识与客观
共识是指一个群体所普遍相信的命题。如果一个群体的认识主体中每个个体拥有相同的知识，则该知识即该群体的共识。有时候群体共识体现为群体中的绝大部分拥有的相同的知识，也有时候体现为群体中的学术权威所拥有的知识。
共识通常来说比群体中的某个个体的知识更理性，因而更客观。群体成员达成共识要靠沟通交流，而沟通交流依赖逻辑。那么，我们可不可以说，群体共识就是客观知识；而那些个别认识主体的知识就是主观知识？恐怕不行。群体共识的形成也取决于群体的共同目标或需求，而这些目标或需求又与群体所处的环境、文化背景等等有关，因而并非完全理性。同样地，平均来看个别认识主体的知识更缺乏理性，因为人们的逻辑水平不尽相同，而人们的非理性诉求则各不相同。但群体中那些个别理性的个体的认知，由于其出众的逻辑水平和不必迁就他人的不理性诉求，反而能更接近客观知识。
所以，一般来说群体共识更客观，但不能说群体知识就是客观知识。因为，客观与否的标准还是是否理性或者是否合逻辑。比如，一个群体公认一名男子的外貌是美的。这种认知取决于群体中每个人的好恶。这种好恶的趋同当然是有原因的。这种原因可能不为人知。即便人们知道原因，他们也只是根据他们趋同的审美归纳美的规律，而非根据美的规律判断美丑。人们看到这名美男子就作出了美丑的判断，而非缜密思考男子的外貌如何符合众多美的规律后作出理性判断。
知识体系
知识体系是指一系列具有一致性的知识。一个理性认识主体在一个时点不能既以一个置信度相信一个命题又以另一个不同的置信度相信同一个命题。作为一个理性的认识主体，如果他的一项知识与现有的知识体系不一致，那么或者这项知识是错误的，或者其现有的知识体系需要被修正。
之所以要区分知识体系，是因为要确保所有知识具有一致性难以实现。由于认识主体的精力有限，想要精通所有学科是不可能的。因而，在一定的领域内形成具有一致性的一系列知识也可以被接受。这样，术业有专攻，专业内的人无须与专业外的人保持知识的一致性。
相信或不相信什么是一种决策，知识体系的选择也是一种决策，而决策应当基于选择对于决策者的效用。因此，对于分别具有一致性的多个相互竞争的知识体系，选择其中的哪一个，要取决于它们对于满足认识主体的需要的效用。当一项知识与现有的知识体系不一致时，选择否定前者还是更新后者也是同样的。如果一个信念对于认识主体而言是效用最大的选择，那么他选择这个信念就是明智的。
由于个人的一切选择都基于选项对于本人的效用，对于作为知识体系的一部分的理论的选择也自然基于本人的需要。如果不同个人的需要不同，他们选择理论的决策也可以不同。
鉴于共识的公允性，一般来说被群体选择作为共识的知识体系有理性和效用两个特征。理性通常表现为一致性。一个好的知识体系必须具有内部一致性而不存在内部矛盾。效用通常表现为推断力。一个好的知识体系必须能推断出未知的现象。
理性的要求是显然的，但效用的要求却往往被忽视。正如奇诺克的体验机器思想实验所描述的，人甚至不可能确证自己是否生活在一个虚拟世界。假如我是一个比人类更高智能的生物，能够以高度的仿真性、复杂性做梦。我现在的人生每一天的思考、行为、感受仅仅是这个高智能生物的梦境的一个片段。这样一个类似庄周梦蝶的梦境假说永远无法被人类所证明或证伪。它有非常强大的解释力，它能解释任何现象——一切都只是梦境而已，而梦境中又有什么是不可能的呢？但它又完全没有预测力——既然梦境中一切都有可能，谁又能知道接下来会发生什么？所以，大多数人出于效用的考虑或许都会舍弃它。
悖论
在一般情况下，除非推导过程不合逻辑，否则悖论就是违背命题的定义的，因为命题是指可以在逻辑上判断真假的陈述。
一方面，确实有一些悖论的推理方式不合逻辑规则。通常其逻辑错误非常隐秘，否则也不至于较为广泛地被认为是悖论。对于这类悖论，只需找出其逻辑漏洞即可。
另一方面，更多的悖论的推导是完全符合逻辑规则的。对于这些悖论，我们要么否认逻辑的普遍有效性，并且承认逻辑对这些例外情形不适用；要么承认逻辑的普遍有效性，并且承认除逻辑以外的现有知识体系存在缺陷。出于效率的考虑，本书选择后者。而其结果就是，否认基于正确的假设并通过符合逻辑规则的推理可以得出两个对立的结论。
鉴于悖论一词已被长期而广泛地使用，出于效率的考虑，此处将保留悖论这一名称，并将悖论重新定义为一种现象，即：悖论是指基于相同前提推出矛盾结论的现象。简单地说，我们不再将悖论定义为一类命题或陈述，而是将悖论定义为一种现象。
悖论的分类
根据悖论现象产生的原因，悖论将被分为两大类：
一大类是逻辑悖论。逻辑悖论是指以不合逻辑的推理得出的结论与以合逻辑的推理得出的结论相矛盾的现象。如果在相同的前提下，因为推导过程中的不合逻辑得出错误的结论，且这种错误结论同合逻辑的推理得出的结论相矛盾，则这种矛盾现象就是逻辑悖论。
另一大类是前提悖论。前提悖论是指由矛盾的前提以合逻辑的推理得出的自相矛盾的多个结论的现象。或者由于现有知识体系中的缺陷，或者由于无意义的陈述，尽管正确运用逻辑规则仍可推导出自相矛盾的多个陈述，则这种矛盾现象就是前提悖论。知识体系是指一系列具有一致性的知识。假如同一知识体系中的一些知识可以被合逻辑地推导出同该知识体系中的这些或其他知识相悖的知识，则该知识体系是有缺陷的，需要被修补。
本书将前提悖论按知识类别进一步细分为：命名悖论、定义悖论和假说悖论三类。以下分别介绍逻辑悖论和三类前提悖论（命名悖论、定义悖论、假说悖论）共四类悖论。这四个类别包括了所有可能的悖论类型。不同的分类之间没有重叠，但同一个悖论的现象中所包含的相悖之处未必只有一个，所以一个悖论现象仍可能被归入多个类别。在这四个类别中还有一些常见的悖论子类，也在下文中予以命名，但它们仅为了指称方便，并非同一分类下的全部穷尽子类。
命名悖论
命名悖论是指因对于事物的命名存在同名和语言中的歧义现象而导致的悖论。常见的有以下类型：
歧义悖论是指在同一讨论中混淆同名的事物而未区分名称的不同含义所导致的悖论。
定义悖论
定义悖论是指由于对事物的定义的不明确导致的悖论。常见的有以下类型：
连锁悖论是指这样一种推理导致的悖论，即由于缺乏对事物性质的描述的准确定义，基于每一个微小的变化不改变事物的性质的假设，从而得出无论多少微小的变化累加也不改变事物性质的错误结论。
无穷定义悖论是指因错误地将无穷定义为一个特定数字而导致的悖论。
假说悖论
假说悖论是指基于无意义的假说推理得出矛盾的结论而导致的悖论。毫无疑问，假说悖论是最主要的悖论类型。特别地，假说悖论中又有以下常见的类型：
自我否定悖论是指一句陈述对其本身予以否定而导致的悖论。这类悖论的推理基于所有陈述都是有意义、可判断真伪的这样一个错误假设，试图对自我否定的无意义的陈述判断真假而导致荒谬的结论。因为任何陈述都表达了隐含的对其本身的肯定，它不能同时又否定其本身。所以这样的陈述是没有意义的。
自相矛盾悖论是指同一推理过程中陈述的内容或前提的自相矛盾导致的悖论。这类悖论的推理基于所有陈述都是有意义、可判断真伪的这样一个错误假设，试图对自相矛盾的、无意义的陈述判断真假而导致荒谬的结论。因为任何有意义的陈述都应当确保其内容的自洽，而不应存在矛盾。所以，自相矛盾的陈述是没有意义的。
无穷假说悖论是指因错误地假设无穷在现实中的存在导致的悖论。无穷大或无穷小仅存在于抽象思维中，不存在于现实中。
决策悖论是指因对理性决策或明智决策的错误假设而导致的悖论。
逻辑悖论
逻辑悖论是指由于推理过程的错误导致的悖论。逻辑悖论一旦被找出推理过程中的错误也常常被认为是一种谬误，而不再被认为是悖论。常见的逻辑悖论有以下类型：
后验概率悖论是指在得知改变概率的信息后仍错误地认为后验概率未发生变化而导致的悖论，或在得知不改变概率的信息后错误地认为后验概率发生变化而导致的悖论。
悖论的消解
消解作为一种现象出现的全部悖论需要做以下两件事：
针对逻辑悖论，找出导致悖论的逻辑错误。
比如，对于蒙提霍尔问题（三门问题），如果我们找出导致悖论的逻辑错误是在未得到改变概率的相关信息时错误地改变了概率，那么问题只剩下一个正确答案，悖论就被消解了。
针对前提悖论，找出案例中的无意义的前提，和/或修补现有知识体系中的缺陷。
比如，对于理发师悖论，如果我们找出案例中的无意义的前提是案例中理发师自相矛盾的陈述，就能消解悖论。又如，对于睡美人问题，如果我们采用修补现有知识体系中的缺陷的方法，修改概率的定义并使用基于自我抽样次数的后验概率公式计算后验概率，就能消解悖论。
