逻辑的定义

逻辑是指理性认识主体的推理规律。

广义逻辑是指理性认识主体的推理规则，即其以某些置信度相信某些命题时，必然以哪些置信度相信其他哪些命题。基于置信度的逻辑是广义逻辑。例如，一个理性认识主体以70%的置信度相信人都会死，并且以70%的置信度相信苏格拉底是人，那么他必定以49%的置信度相信苏格拉底会死。

在上面的例子中，为什么广义逻辑这么类似概率论呢？根据广义逻辑的定义，广义逻辑研究的是理性认识主体的置信度。而我们在前文已经论述，理性认识主体的置信度就是概率。因此，广义逻辑不仅仅是类似概率论，广义逻辑就是概率论。

传统逻辑是狭义逻辑，即理性认识主体以0或1的置信度相信某些命题时，必然以0或1的置信度相信其他哪些命题。换言之，传统逻辑是指不考虑理性认识主体对命题的相信程度，基于要么绝对相信要么绝对不相信的假设，判断其应当同样绝对相信或绝对不相信哪些命题的规律。传统逻辑是狭义逻辑。例如，一个理性认识主体绝对相信人都会死，并且绝对相信苏格拉底是人，那么他必定绝对相信苏格拉底会死。

命题的实质

命题是指在逻辑上可以判断真假的陈述，其实质是表达概念之间的隶属关系。比如：

“烟草的使用增加了罹患肺癌的风险。”表示：烟草的使用⊆增加了罹患肺癌的风险的事物。

“如果今天下雨，那么街道就会湿。”表示：今天下雨⊆使街道会湿的事物。

“水是H₂O。”表示：水⊆H₂O所代表的事物。

“有一些星系是由暗物质组成的。”表示：一些星系⊆由暗物质组成的事物。

“巧克力比冰激凌更好吃。”表示：巧克力⊆比冰激凌更好吃的事物。

命题有两种：一种表示判断概念A是否隶属于概念B。比如：“白马非马”可以被正确地表示为：白马⊈马。根据这种表示，“白马⊈马”是不成立的。因此，“白马非马”是一个假命题。另一种表示判断是否概念A属于概念B且概念B属于概念A，即概念A是否等价于概念B。表示等价关系的命题也都可以被归为集合的属于关系。A=B等价于A⊆B且B⊆A，A≠B等价于A⊈B或B⊈A。比如，当“白马非马”被错误地理解为：白马≠马。等价于说：白马⊈马，或马⊈白马。而后者是成立的。因此，假如错误地将“白马非马”解释为：白马≠马，那么就会得出“白马非马”这一错误结论。由于自然语言的模糊性，自然语言中的命题所表达的含义往往需要根据上下文来判断或推测。

有一些陈述也表达判断，但它们表达既属于又不属于的关系，因此是一种无意义的陈述，不是命题。比如，“理发师给且只给不给自己刮胡子的人刮胡子”。如果理发师不给自己刮胡子，那么理发师⊈给自己刮胡子的人；如果理发师不给自己刮胡子，他就是不给自己刮胡子的人，他就应该给自己刮胡子，那么理发师⊆给自己刮胡子的人。由于理发师既属于又不属于给自己刮胡子的人，这个陈述是无意义的，不适用逻辑规律。假如硬要套用逻辑规律来推理就可能会得出自相矛盾的结论，从而造成悖论现象。

我们或许说逻辑规律可以用集合理论来证明，但是集合理论本身也是基于逻辑的，任何理论都是。所以，与其说逻辑规律可以用集合理论来证明，不如说逻辑规律可以用集合理论来说明。因此，下文中有一些看似证明的论述，它们只能被看作是一些说明，表示那些逻辑规律同集合理论是相容的、不矛盾的。

置信度与概率

置信度是指认识主体对其判断的信心。那么，认识主体以某一置信度相信某命题，表示认识主体相信若其大量次数地判断以该置信度相信的命题为真，则其中有约等于该置信度的比例的次数判断正确。比如，你以90%的置信度相信你可以通过一门考试，那么你应当相信如果你参加100次这样的你有90%把握的考试，并且每次都判断能够通过考试，你会有90次判断正确，有10次判断错误。

概率是指理性认识主体的置信度，即理性的认识主体对于命题的相信程度。置信度取决于特定认识主体。而作为理性认识主体的置信度，概率不取决于特定认识主体，因而具有客观属性。

一个理性认识主体在同一时点对一个命题的置信度和对该命题的否命题的置信度之和为100%。（“置信度定律”）

根据命题和置信度的定义，这是显然的。对于命题的判断要么是正确的，要么是错误的。对一个命题的判断是正确的，对这个命题的否命题的判断必然是错误的。反之亦然。比如，你以90%的置信度相信你可以通过一门考试，那么你应当相信，如果你大量次数地判断你能通过这样的考试，你会有90%的次数判断正确，有10%的次数判断错误。而判断错误的次数的比例正是对否命题“你不能通过考试”的判断正确的比例，因此10%就是你对否命题的置信度。因此，对原命题和否命题的置信度之和必定等于100%。认识主体以越高的置信度相信某命题成立，必然以越低的置信度相信其否命题成立。比如你以70%的置信度相信“明天会下雨”，你就应该以30%的置信度相信“明天不会下雨”。

现有的概率定义关注的都是事件。概率的古典定义是在只有有限个结果而每个结果出现的可能性一样时，把某事件包含的结果数与全部可能的结果数之比作为概率。比如，掷骰子的全部可能结果数是6种，不是六点的结果数是5种，所以掷出不是六点的概率是5/6。概率的频率定义则认为做大量重复实验时，一个事件出现的频率会稳定在一个固定数的附近。这个频率就是概率。那么，掷6万次骰子，如果有大约5万次都不是六点的话，掷出不是六点的概率是5/6。

然而从知识论的角度看，我们完全可以把概率定义为理性的认识主体对于其判断的信心，即理性认识主体的置信度。采用这种定义的话，概率不再是有关事件发生的某种结果与全部可能的结果的比例的规律。事件发生的概率即理性的认识主体对于该事件发生的判断的信心。认识主体以某概率相信某事件发生，表示认识主体相信若其大量次数地相信类似的事件（将要、正在或已经）发生，则其中有约等于该概率的比例的次数的事件（将要、正在或已经）实际发生。比如，你以90%的置信度相信你可以通过一门考试，那么你应当相信如果你参加100次这样的你有90%把握的考试，并且每次都判断能够通过考试，你会有大约90次判断正确，有大约10次判断错误。所以概率即一种置信度。置信度作为知识的定义的一部分取决于认识主体。针对同一事物，不同的认识主体可以有不同的知识。所以，对于同一个命题，不同的认识主体可以有不同的置信度。但概率是一个理性认识主体应当有的相信程度，而非任意一个认识主体的任意的相信程度。因而，概率是唯一的。

就睡美人问题中的睡美人而言，她认为硬币掷出了正面的概率是1/3，表示她相信，只要她足够多次地在类似的实验中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/3的次数她的猜测是正确的。作为一名旁观者，认为硬币掷出了正面的概率是1/2，表示他相信，只要他足够多次地在类似的情形中猜测硬币掷出了正面，那么就会有大约1/2的次数他的猜测是正确的。所以，旁观者应该相信实验中的那枚硬币掷出了正面的概率是1/2；睡美人应该相信每次被唤醒并提问时同一枚硬币掷出了正面的概率是1/3。两者并不矛盾。如果说表面看上去有矛盾，那是因为我们往往错误地理解了概率。那么，概率的唯一性呢？此处的两个数值根本不是同一个概率。旁观者与睡美人作出判断的次数是不一样的，因此硬币掷出了正面的概率也是不一样的。一个理性认识主体作为旁观者会判断硬币掷出了正面的概率是1/2，一个理性认识主体作为睡美人会判断硬币掷出了正面的概率是1/3，两者并不矛盾。

假如我们坚持概率的传统定义，在某些情况下就会导致悖论。悖论正表示我们现有的知识体系存在缺陷。而采用此处的概率新定义正是对现有知识体系的一种修补。

传统逻辑的实质

传统逻辑的实质是将置信度定律应用于置信度为0或100%的两种情形。即在某一时点当一个理性的认识主体绝对相信一个命题为真时，他必定绝对不相信这个命题为假，也必定绝对相信这个命题的否命题为假，也必定绝对不相信该否命题为真。

知识取决于特定认识主体，一个认识主体可以同时不自洽地相信或不相信某个命题。我们可以称之为自相矛盾，但却不能否认这种情形。比如，一个人相信他的矛能刺破任何盾且他的盾任何矛都刺不破。这表示他相信“他的矛能刺破任何盾”和“他的盾任何矛都刺不破”这两个命题。我们可以说他不应该有这样的信念，因为这两个命题不可能同时是真的。如果我们认为他是理性的，我们可以说他不会有这样的信念。但如果我们不认为他是理性的，我们就不能排除他有这样的信念，因为他同时相信两个自相矛盾的命题表示他不理性，但这种现象的存在不能被否认。

然而，当我们在讨论传统逻辑时，我们并不讨论某一个认识主体的知识，而是讨论一个理想中的理性认识主体的知识，并且他在绝对相信或绝对不相信一些命题的前提下必然会绝对相信或绝对不相信其他的哪一些命题。既然是理性认识主体，不理性就是不被容许的。假如一个理性认识主体绝对相信他的矛能刺破任何盾，他就必须绝对不相信他的盾任何矛都刺不破。

这一要求可以被看作是置信度定律的一个特例。假如卖矛和盾的人是一个理性认识主体，那么他越是相信他的矛能刺破任何盾，他就必须越是不相信他的盾任何矛都刺不破。而特例就是，当他绝对相信他的矛能刺破任何盾时，他就必须绝对不相信他的盾任何矛都刺不破。

当前人类绝大多数的知识体系都是基于传统逻辑的，即要么绝对相信它是真的，要么绝对相信它是假的。但介于这两者之间存在更多不同程度的相信。假如用不同程度的置信度来描述一个知识体系中的所有知识，这个知识体系将会是更精确的。依靠计算机的帮助，自相矛盾之处也更容易被发现。

前面所提到的基于置信度的逻辑与多值逻辑的概念不同。多值逻辑（包括模糊逻辑）将一个命题真假的值设定为0到1之间的数值。而基于置信度的逻辑学仍承认一个命题的真假是二元的，即要么是真的，要么是假的，所不同的只在于理性认识主体对这个命题的相信程度。

基于置信度的逻辑是广义的逻辑，即一个理性认识主体对一个命题置信度越大则对其否命题的置信度越小，两者之和为100%。传统逻辑是狭义的逻辑，即一个理性的认识主体如果绝对相信一个命题则必定绝对不相信其反命题。狭义逻辑可以被视作广义逻辑的一个特例。下文，将结合广义逻辑和集合理论评论各项狭义逻辑规则。

同一律及其局限

一般来说，在传统逻辑中，同一律是说事物等同于其本身。设A为任一事物，B为其本身。则A的任何性质B都具有，故A⊆B；同样地，B的任何性质A都具有，故B⊆A。由于A⊆B且B⊆A等价于A=B。因此，A=B。

请想象：若用集合图形表示，集合A和集合B的边界必须是完全重合的，唯有这样才能确保凡属于A的事物必属于B，凡属于B的事物必属于A，凡不属于A的事物必不属于B，凡不属于B的事物必不属于A。

但考虑到事物的变化，不妨稍稍修改定义：同一律是说事物忽略其变化等同于其本身。

同一律的适用局限于事物随时间的变化。事物可能随着时间变化。如果把不同时点的事物当作同一事物，那么一个时点的事物并不一定等同于另一个时点的该事物本身。同一律就不适用。而如果把不同时点的事物当作不同事物，那么事物时时刻刻发生着变化，认识事物变得不可能。如果一个时点的事物不等同于另一个时点的该事物本身，关于事物身份的概念也变得冗余了。比如，赫拉克利特声称“人不能两次踏入同一条河”。这样也会造成思维上的混乱。

因此，为了便于认识事物和人际沟通，有必要区分不同时点的某一事物的同一性：在不同时点差别不显著的一个事物是同一事物；在不同时点差别显著的一个事物不是同一事物。这样，同一律是一般的原则，事物在不同时点可能有的不同一性则是例外。

矛盾律及其局限

矛盾律（或不矛盾律）是说任何命题不能既真又假。

命题表达的是属于关系。一个判断为属于的命题，如果是真的，表示是属于的，如果是假的，表示是不属于的，一个属于关系不能同时既是属于的又是不属于的，因此命题不能既真又假。

矛盾律可以被看作置信度定律的一个特例。对于任何一个命题，这个命题为真表示一个认识主体绝对相信这个命题；这个命题为假表示一个认识主体绝对不相信这个命题。一个理性认识主体在同一时点对一个命题的置信度是确定的。因此，他不能同时既以100%的置信度相信（绝对相信）又以0的置信度相信（绝对不相信）同一个命题。逻辑学所讨论的是理性认识主体的认识。因此，在逻辑上一个命题不能既真又假。

然而，如果脱离传统逻辑学来讨论的话，一个理性认识主体对于一个命题的相信的程度就可以表现为某个置信度，而非要么绝对相信要么绝对不相信。

矛盾律只适用于命题，即有意义的陈述。矛盾律不适用于无意义的陈述。比如，有这样一个无意义的陈述：“我说的这句话是真的”。假设这句话是真的，那么这句话肯定了其本身，因而这句话确实是真的。假设这句话是假的，那么这句话说一句假话是真的，因而这句话确实是假的。这句话既可以是真的也可以是假的。但这句话是一个无意义的陈述，不是一个命题。这样一个无意义的陈述不能被用于逻辑推理。

排中律及其局限

排中律是说任何命题不能既不真又不假。

命题表达的是属于关系。一个判断为属于的命题，如果不是真的，表示是不属于的，如果不是假的，表示是属于的。一个属于关系不能同时既是属于的又是不属于的，因此命题不能既不真又不假。

对于任何一个命题，这个命题不真表示一个认识主体绝对不相信这个命题；这个命题不假表示一个认识主体绝对相信这个命题。一个理性认识主体在同一时点对一个命题的置信度是确定的。因此，他不能同时既以100%的置信度相信（绝对相信）又以0的置信度相信（绝对不相信）同一个命题。逻辑学所讨论的是理性认识主体的认识。因此，这个命题不能既不真又不假。

同样地，如果用基于置信度的逻辑学来讨论的话，认识主体对于一个命题的置信度可能有程度上的差别。比如，他可以以50%或接近50%的置信度相信一个命题。这种情况下，认识主体既不能说命题是真的，也不能说命题是假的。

此外，排中律只适用于命题，即有意义的陈述。排中律不适用于无意义的陈述。比如，有这样一个无意义的陈述：“我说的这句话是假的”。假设这句话是真的，那么这句话否定了其本身，因而这句话不是真的。假设这句话是假的，那么这句话否定了其本身，因而这句话不是假的。相信或不相信这个陈述都是矛盾的。所以，一个陈述可以不真不假，但一个命题则不能。

充足理由律及其局限

充足理由律是说任何推理必须有充足的理由。违背充足理由率的推理所得出的结论被称作不合逻辑的推论或不当推论。

在基于置信度的知识论中，知识是认识主体相信的命题。这种相信不附带条件，不需要额外的理由。推理有合逻辑的推理，也有不合逻辑的推理。但逻辑学所研究的并非任意认识主体的知识。逻辑学所讨论的是理性认识主体的推理的规律，因此是合逻辑的推理。传统逻辑抛开认识主体对命题的相信程度，在假设一个理性认识主体要么绝对相信要么绝对不相信某些命题的基础上，推理出他应当同样绝对相信或绝对不相信的命题。这种推理当然要有充足的理由，否则这个认识主体就不是理性的。充足理由律的要求是逻辑的定义所决定的。

对于基于置信度的逻辑学而言，充足理由是一种足以改变后验概率的相关信息。但不充足理由也可能是一种足以改变后验概率的相关信息。理由的充足性有着程度上的差别。比如，不完全归纳推理在传统逻辑中是不符合充足理由律的，但基于不完全归纳推理，采用贝叶斯公式，也可以为我们更新知识的置信度。因此，它可以在基于置信度的逻辑学中扮演一个非常重要的角色。

演绎推理及其局限

演绎推理是指由集合性质得出其子集的性质。

直言三段论

若所有A都是B，所有B都是C，则所有A都是C。比如：所有苹果都是水果，所有水果都是甜的，所以所有苹果都是甜的。

这表示：若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C。从集合的角度看，这是显然的：如果A是B的子集而B又是C的子集，那么A一定也是C的子集。

假设A不是C的子集，则存在一个元素x在A中存在但在C中不存在。因为A是B的子集，所以x在B中存在。又因为B是C的子集，所以x在C中存在，这与x在C中不存在的假设矛盾。因此，A一定是C的子集。

充分条件假言推理

凡B则C。则若A是B，则A是C；若A不是C，则A不是B。比如：水果是甜的。则若苹果是水果，则苹果是甜的；若苹果不甜，则苹果不是水果。

这表示：B⊆C，则若A⊆B则A⊆C；若A⊈C则A⊈B。

必要条件假言推理

只有B才可能是C，则若A是C，则A是B；若A不是B，则A不是C。比如：只有水果才可能是甜的，则若苹果是甜的，则苹果是水果；若苹果不是水果，则苹果不甜。

这表示：C⊆B，则若A⊆C，则A⊆B；若A⊈B，则A⊈C。须注意“只有……才是”与“所有……都是”在属于关系上是相反的。

充要条件假言推理

B，且只有B，是C。则若A是B，则A一定是C；若A不是C，则A一定不是B；反之，若A是C，则A一定是B；若A不是B，则A一定不是C。比如：水果，且只有水果，是甜的。则若苹果是水果，苹果一定是甜的；若苹果不是甜的，则苹果一定不是水果；若苹果是甜的，则苹果一定是水果；若苹果不是水果，则苹果一定不甜。

这表示：

a) 若B⊆C且C⊆B, 则B=C。

b) 若B=C，则若A⊆B则A⊆C；若A⊈C则A⊈B；若A⊆C，则A⊆B；若A⊈B，则A⊈C。

相容选言推理

A要么是B，要么是C，要么既是B又是C。若D是A，且D不是B，则D是C。比如：水果要么是甜的，要么是酸的，要么是既甜又酸的。苹果是水果，如果苹果不是甜的，那么苹果是酸的。

这表示：若A⊆B∪C，D⊆A，D⊈B，则D⊆C。

不相容选言推理

A要么是B，要么是C。若D是A，且D是B，则D不是C。比如：水果要么是甜的，要么是酸的。如果苹果是水果，并且苹果是甜的，那么苹果不是酸的。

这表示：A⊆B∪C，B∩C=Ø。若D⊆A，且D⊆B，则D⊈C。

等价关系推理

若A=B，B=C, 则A=C。比如：甲拥有的苹果与乙拥有的苹果一样多，而乙拥有的苹果与丙拥有的苹果一样多，那么甲拥有的苹果与丙拥有的苹果也一样多。

A=B表示A⊆B且B⊆A，B=C表示B⊆C且C⊆B。由于A⊆B且B⊆C，则A⊆C；由于C⊆B且B⊆A，则C⊆A；A⊆C且C⊆A等价于A=C。

传递关系推理

若A>B，B>C，则A>C。比如：甲拥有的苹果比乙拥有的苹果更多，而乙拥有的苹果比丙拥有的苹果更多多，那么甲拥有的苹果比丙拥有的苹果更多。

在数量关系上，若A>B，则A⊃B。若B>C，则B⊃C。则A⊃C。则A>C。

演绎推理的局限

我们来看一个例子。

1、认识主体以置信度P1相信命题p1：所有名词1都是名词2。

2、认识主体以置信度P2相信命题p2：所有名词2都是名词3。

3、认识主体以置信度P3相信命题p3：所有名词3都是名词4。

……

99、认识主体以置信度P99相信命题p99：所有名词99都是名词100。

100、认识主体以置信度P100相信命题p100：所有名词1都是名词100。

一个认识主体对命题p100的置信度P100应当是P1×P2×P3×……×P99。假如认识主体对命题p1∼p99中的每一个命题的置信度P1∼P99都是99%，则对命题p100的置信度P100应为0.99^99=0.37。

假如P1∼P99都是99.9%，则P100应为0.999^99=0.91。

可见，推理的链条越长可靠性的损耗越大。只有在作为推理的各个前提的置信度非常大时，一个长推理链条的结论才是可靠的。

完全归纳及其局限

完全归纳推理是由集合的穷尽子集的性质得出集合的性质。

若A=B∪C，B⊆D，C⊆D，则A⊆D。

比如，天鹅有且仅有白天鹅和黑天鹅两种。白天鹅会飞，黑天鹅也会飞，那么天鹅都会飞。

完全归纳推理在传统逻辑中是成立的。一个理性认识主体只要绝对相信A=B∪C，B⊆D，C⊆D，他就必然绝对相信A⊆D。完全归纳推理的结论是一种推论性质的知识。

基于置信度的逻辑学研究在一个理性认识主体以某些置信度相信某些命题的基础上，推理出他应当以什么样的置信度分别相信其他某些命题。在基于置信度的逻辑学中，其他条件相同，一个理性认识主体对“白天鹅会飞”和“黑天鹅也会飞”这两个命题中的任何一个的置信度越高，则对于“天鹅都会飞”这一命题的置信度也越高。

例如，将一个事物分为互斥穷尽的99部分。

1、认识主体以置信度P1相信命题p1：第1部分都是形容词A。

2、认识主体以置信度P2相信命题p2：第2部分都是形容词A。

3、认识主体以置信度P3相信命题p3：第3部分都是形容词A。

……

99、认识主体以置信度P99相信命题p99：第99部分都是形容词A。

100、认识主体以置信度P100相信命题p100：整体都是形容词A。

一个认识主体对命题p100的置信度P100应当是P1×P2×P3×……×P99。假如认识主体对命题p1∼p99中的每一个命题的置信度P1∼P99都是99%，则对命题p100的置信度P100应为0.99^99=0.37。

假如P1∼P99都是99.9%，则P100应为0.999^99=0.91。

可见，其他条件相同，越复杂的归纳推理越容易出错。因此，复杂的推理对于各个前提的置信度有更高的要求。

不完全归纳

不完全归纳推理是由集合的不穷尽子集的性质得出集合的性质。

若B⊆A，C⊆A，B⊆D，C⊆D，则A⊆D。这是一个不当推论。比如，白天鹅是天鹅，黑天鹅也是天鹅，白天鹅会飞，黑天鹅也会飞，所以天鹅都会飞。但是天鹅未必仅有白天鹅和黑天鹅两种。即便白天鹅会飞，黑天鹅也会飞，天鹅未必都会飞——比如黄天鹅也是天鹅，但黄天鹅不会飞。

不完全归纳推理在传统逻辑中不成立。其结论是一个不当推论。一个理性认识主体尽管绝对相信B⊆A，C⊆A，B⊆D，C⊆D，他仍没有充足理由绝对相信A⊆D。比如，天鹅中有黄天鹅而黄天鹅不会飞的可能性没有被排除。所以，不完全归纳推理的结论是一种具有假说性质的知识。

但在基于置信度的逻辑学中，不完全归纳推理十分有用。基于置信度的逻辑学研究在一个理性认识主体以某些置信度相信某些命题的基础上，推理出他应当以什么样的置信度分别相信其他某些命题。其他条件相同，他对于“白天鹅会飞”和“黑天鹅也会飞”这两个命题中的任何一个的置信度越高，则对于“天鹅都会飞”这一假说的置信度也越高。