2016年理数全国卷A题20（1）：数形结合，几何开路

2016年理科数学全国卷一题20

（20）（本小题满分12分）
设圆x^2+y^2+2x-15=0 的圆心为 A，直线 l 过点B(1,0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD于点 E.
（I）证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C，直线 l 交 C 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

【解答第1问】

将圆A的方程化为标准形：(x+1)^2 + y^2=4^2

由圆A的标准方程可知：圆心坐标为 (-1,0)，半径为4.

∵ 点 C,D 在圆上，∴ |AC|=|AD|, \triangle ACD 是等腰三角形，∴ \angle ACD = \angle ACD

又 \because BE // AC, \quad \therefore \angle EBD = \angle ACD, \quad \therefore \angle EBD = \angle ADC, \quad \therefore |EB|=|ED|

∴ |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4. 证明完毕.

\because 2a=4, c=1, \therefore a^2=4, b^2=3.

∵ 直线 l 与 x 轴不重合，∴ y \neq 0, x \neq 2, x \neq -2

点 E 的轨迹方程为：\dfrac{x^2}{4}+ \dfrac{y^2}{3}=1 \quad (-2 \lt x \lt 2).

【提炼与提高】

本题第1问是一个典型的平面几何问题，涉及：圆、等腰三角形和平行线的性质。

假如在中考试卷中遇到这个问题，相信多数人都能解出。但是，在高考的解析几何大题中遇到这个问题，就有相当一部分考生犯了晕。其原因在于：大量机构性的训练给学生留下了一种刻板印象：解析几何的题，都是用方程来解决的。希望这个题能够帮助大家克服这种错误的认识。牢记这句话：『数形结合，几何开路。』

本题的第2问也很有典型性，且听下回分解。

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