考研高等代数真题分类汇编01

设 $f(x)$ 是有理数域上的 $( n \geqslant 2 )$ 次多项式,且它在有理数域上不可约,但知 $f(x)$ 的一个根的倒数也是 $f(x)$ 的根,证明: $f(x)$ 的每一个根的倒数也是 $f(x)$ 的根.

证明:首先设 $f ( x ) = a _ { n } x ^ { n } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 } ( a _ { i } \in \mathbb{Q} , i = 0 , 1 , \cdots , n ) .$
由于 $f(x)$ 是 $n$ 次不可约的,所以 $a_0,a_n$ 都非零,自然 $f(x)$ 也无零根.记 $\mathbb{Q}$ 上的多项式 $g ( x ) = x ^ { n } f \left( \frac { 1 } { x } \right) = a _ { 0 } x ^ { n } + a _ { 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { n } .$
若复数 $\alpha$ 与 $\dfrac{1}{\alpha}$ 均为 $f(x)$ 的根,则 $g ( \alpha ) = \alpha ^ { n } f \left ( \frac { 1 } { \alpha } \right ) = 0 .$
于是 $\alpha$ 是多项式 $f(x),g(x)$ 的公共复根,所以 $f(x),g(x)$ 在复数域上不互素,结合互素性不随数域的扩大而改变,可知 $f(x),g(x)$ 在有理数域上也不互素,而 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的,所以有 $f(x) \mid g(x).$ 而结合 $a_0 \neq 0$ 可知 $\partial ( g ( x ) ) = n$ ,所以必有 $g(x)=kf(x)$ ,其中 $k$ 是一个非零常数,于是对 $f(x)$ 的任一根 $x_0$ ,有
$g ( x _ { 0 } ) = x _ { 0 } ^ { n } f \left ( \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right ) = k f ( x _ { 0 } ) = 0$ 即有 $f \left( \dfrac { 1 } { x _ { 0 } } \right) = 0$ ,即 $x_0$ 的倒数也是 $f(x)$ 的根.

满足 $2-\sqrt[]{3}$ 为根的最小非零首1的有理多项式是( $\qquad \qquad$ )

解答: $( x - 2 + \sqrt { 3 } ) ( x - 2 - \sqrt { 3 } ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 = x ^ { 2 } - 4 x + 1 .$

以 $\sqrt { 2 } + i$ 为根的次数最小的有理系数多项式为( $\qquad \qquad$ )

解答:首先构造 $( x - \sqrt { 2 } - i ) ( x - \sqrt { 2 } + i ) = ( x - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 3 - 2 \sqrt { 2 } x .$

再构造 $( x ^ { 2 } + 3 - 2 \sqrt { 2 } x ) ( x ^ { 2 } + 3 + 2 \sqrt { 2 } x ) = ( x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 2 } - 8 x ^ { 2 } = x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 9 .$

所以以 $\sqrt { 2 } + i$ 为根的次数最小的所有有理系数多项式为 $a ( x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 9 ) ,$ 其中 $a \in \mathbb{Q} , a \neq 0 .$

最后编辑于：2022.09.15 19:43:24

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 221,273评论 6赞 515
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 94,349评论 3赞 398
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 167,709评论 0赞 360
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 59,520评论 1赞 296
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 68,515评论 6赞 397
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 52,158评论 1赞 308
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,755评论 3赞 421
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,660评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 46,203评论 1赞 319
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 38,287评论 3赞 340
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 40,427评论 1赞 352
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 36,122评论 5赞 349
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,801评论 3赞 333
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 32,272评论 0赞 23
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,393评论 1赞 272
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,808评论 3赞 376
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 45,440评论 2赞 359

考研高等代数真题分类汇编01

推荐阅读更多精彩内容