考研高等代数真题分类汇编01

设 $f(x)$ 是有理数域上的 $( n \geqslant 2 )$ 次多项式,且它在有理数域上不可约,但知 $f(x)$ 的一个根的倒数也是 $f(x)$ 的根,证明: $f(x)$ 的每一个根的倒数也是 $f(x)$ 的根.

证明:首先设 $f ( x ) = a _ { n } x ^ { n } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 } ( a _ { i } \in \mathbb{Q} , i = 0 , 1 , \cdots , n ) .$
由于 $f(x)$ 是 $n$ 次不可约的,所以 $a_0,a_n$ 都非零,自然 $f(x)$ 也无零根.记 $\mathbb{Q}$ 上的多项式 $g ( x ) = x ^ { n } f \left( \frac { 1 } { x } \right) = a _ { 0 } x ^ { n } + a _ { 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { n } .$
若复数 $\alpha$ 与 $\dfrac{1}{\alpha}$ 均为 $f(x)$ 的根,则 $g ( \alpha ) = \alpha ^ { n } f \left ( \frac { 1 } { \alpha } \right ) = 0 .$
于是 $\alpha$ 是多项式 $f(x),g(x)$ 的公共复根,所以 $f(x),g(x)$ 在复数域上不互素,结合互素性不随数域的扩大而改变,可知 $f(x),g(x)$ 在有理数域上也不互素,而 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的,所以有 $f(x) \mid g(x).$ 而结合 $a_0 \neq 0$ 可知 $\partial ( g ( x ) ) = n$ ,所以必有 $g(x)=kf(x)$ ,其中 $k$ 是一个非零常数,于是对 $f(x)$ 的任一根 $x_0$ ,有
$g ( x _ { 0 } ) = x _ { 0 } ^ { n } f \left ( \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right ) = k f ( x _ { 0 } ) = 0$ 即有 $f \left( \dfrac { 1 } { x _ { 0 } } \right) = 0$ ,即 $x_0$ 的倒数也是 $f(x)$ 的根.

满足 $2-\sqrt[]{3}$ 为根的最小非零首1的有理多项式是( $\qquad \qquad$ )

解答: $( x - 2 + \sqrt { 3 } ) ( x - 2 - \sqrt { 3 } ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 = x ^ { 2 } - 4 x + 1 .$

以 $\sqrt { 2 } + i$ 为根的次数最小的有理系数多项式为( $\qquad \qquad$ )

解答:首先构造 $( x - \sqrt { 2 } - i ) ( x - \sqrt { 2 } + i ) = ( x - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 3 - 2 \sqrt { 2 } x .$

再构造 $( x ^ { 2 } + 3 - 2 \sqrt { 2 } x ) ( x ^ { 2 } + 3 + 2 \sqrt { 2 } x ) = ( x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 2 } - 8 x ^ { 2 } = x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 9 .$

所以以 $\sqrt { 2 } + i$ 为根的次数最小的所有有理系数多项式为 $a ( x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + 9 ) ,$ 其中 $a \in \mathbb{Q} , a \neq 0 .$

最后编辑于：2022.09.15 19:43:24

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