空间曲线
克莱罗开创了空间曲线的理论，这是三维微分几何的一大进步。克莱罗（1713-1765）9岁就在父亲的帮助下学习解析几何和微积分，12岁时就写了一本关于曲线的书（震惊……天才内卷起来真应了张爱玲那句话：出名要趁早），16岁写了一本关于双重曲率曲线的著作，在书中论述了曲面和空间曲线的解析学，这本书于1731年出版，同年他成为法国科学院有史以来最年轻的院士。1743年他出版了关于地球形状的著作，以比牛顿、麦克劳林更完全的形式论述了旋转体的形状，给出了地球几何扁率与重力扁率的数学关系。他也研究了三体问题，1763年发表了《关于月球的理论》。克莱罗一生未婚，很有魅力，是巴黎社会的知名人物。
1731年克莱罗解析地论述了空间曲线的基本问题，他把空间曲线称为双曲率曲线，因为他受笛卡尔影响，考虑了空间曲线在两个垂直平面上的投影，于是空间曲线拥有了两条平面曲线的曲率。他从几何上把一条空间曲线看作两个曲面的交线，从分析上把每个曲面表示为三变量的方程。然后他研究双曲率曲线的切线，发现一条空间曲线在一个垂直切线的平面上可以有无穷多条法线，并提出了空间曲线弧长的表达式和某些曲面面积的求积公式。
1750年前后，空间曲线理论或曲面理论仍然是很匮乏的，之后欧拉推动了空间曲线微分几何的第二次重大发展。早年欧拉在力学中应用曲线和曲面，推进了微分几何的研究。1774年他开始讨论空间曲线的理论。为了研究扭曲橡皮带所取形状的问题：“开始是直的橡皮带，在两端压力作用下变得扭曲，求曲线形状”，他引入了一些新的概念，在次年给出了关于扭曲线理论的完整论述。
他引入了球面指标线，这个概念是说，对于曲线任一点(x,y,z)，以它为球心画一个单位球，球上点的轨迹就是球面指标线。欧拉推导了空间曲线曲率半径的一个解析表达式，定义了曲线在(x,y,z)的密切平面（约翰伯努利引入密切平面的术语，且认为密切平面由三个“重迭”的点决定），并给出密切平面的方程。
克莱罗曾经引入了空间曲线有两个曲率的想法，其中一个曲率是欧拉前面给出的，另一个曲率现在称为挠率，几何上表示一条曲线从(x,y,z)点处的一个平面离开的速率，工程师和数学家Michel-Ange Lancret(1774-1807)用分析法求出表达式。Lancret是蒙日的学生，他继承了蒙日的思想，在曲线任一点选出三个主方向：切线方向、主法线方向和次法线方向。挠率是次法线方向关于弧长的变化率。
1826年柯西改进了概念的陈述，澄清了空间曲线理论中的许多问题，他抛弃了常量无穷小ds，并区分了增量和微分的差别。他发展的几何曲面理论实际上是现代的，他在证明中摆脱了球面三角学，但他也用弧长作自变量，他得到了任一一点处切线的方向余弦，证明了主法线的方向数，得到了曲线曲率的表达式。他证明了x,y,z的二阶导是法线的方向余弦除以曲率半径。他把切线和主法线决定的平面作为密切平面，这个平面的法线是次法线，他接着给出了次法线的方向余弦和挠率。柯西已经得到Frenet-Serret公式中的两个公式，这三个公式分别给出了切线、次法线和法线的方向余弦的导数，它们由Serret(1819-1885)在1851年和Frenet(1816-1900)在1816年分别发表。
曲率和挠率是空间曲线的两个基本性质，给定曲率和挠率，在加上曲线在空间中的摆法，就完全确定了这条曲线。Frenet-Serret公式可容易证明这一结论。
参考阅读：弗莱纳公式
