常用对数计算公式

对数基础核心公式

前提：a>0,a\neq1，M>0，N>0，k\in R
自然对数：\ln x = \log_e x
常用对数：\lg x = \log_{10}x

一、对数定义

a^x = b \iff \log_a b = x

二、四则运算核心公式

  1. 积法则
    \log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

  2. 商法则
    \log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N

  3. 幂法则
    \log_a M^k = k\cdot \log_a M

  4. 根式法则
    \log_a \sqrt[k]{M} = \frac{1}{k}\log_a M

三、特殊常用恒等式

\begin{align*} \log_a 1 &= 0 \\ \log_a a &= 1 \\ a^{\log_a M} &= M \\ \log_{a^k}b &= \frac{1}{k}\log_a b \end{align*}

四、换底公式

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
倒数推论：
\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

五、自然对数专属（回归/建模常用）

\begin{align*} \ln(xy) &= \ln x + \ln y \\ \ln\frac{x}{y} &= \ln x - \ln y \\ \ln x^k &= k\ln x \end{align*}

六、建模专用：log1p 相关

\log1p(x) = \ln(1+x)
小值泰勒近似：
\ln(1+x) \approx x \quad (x \to 0)

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