高考数学客观题：2022年新高考数学全国卷题13~题14

2022年新高考数学全国卷题13

已知向量 $\overrightarrow{a}=(2,1),\;\overrightarrow{b}=(3,4)$ ，若 $(\lambda \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} ) \perp \overrightarrow{b}$ ，则 $\lambda= \underline{\mspace{100mu}}$

2022年新高考数学全国卷题14

已知圆锥顶点为 $P$ ，底面的中心为 $O$ ，过直线 $OP$ 的平面截该圆锥所得的截面是面积为 $3\sqrt{3}$ 的正三角形，

则该圆锥的体积为 $\underline{\mspace{100mu}}$

【解答题13】

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10$

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 25$

$(\lambda \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} ) \perp \overrightarrow{b} \Rightarrow \lambda \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow 10\lambda=25$

$\Rightarrow \lambda=\dfrac{5}{2}$

【解答题14】

∵ 直线 $OP$ 垂直于圆锥的底面，∴ 截面与底面垂直；

正三角形的面积 $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 r \cdot \sqrt{3} r$

$\sqrt{3}r^2=3\sqrt{3} \Rightarrow r^2=3 \Rightarrow r^3=3\sqrt{3}$

圆锥的体积 $V= \dfrac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot \sqrt{3} r = 3\pi$

【提炼与提高】

类似题13和题14这样的题，属于入门级的高考题，难度与课本习题相当，非常适合用作同步强化练习.

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