利用"带余除法"证明根号2是无理数

题证明： $\sqrt 2$ 是无理数。
证明假设 $\sqrt 2$ 是有理数，那么存在互素的正整数 $p,q$ ，满足 $\frac{p}q=\sqrt 2$ ，从而有 $\tag{1}\frac{p^2}{q^2}=2$
于是知 $1<p/q<2$ ，所以存在一个 $r$ ，使 $\tag{2}p=q+r$
$1\le r<q\\(q,r)=1,$
代入(1)变形得： $r^2/q=q-2r\\$
所以 $q|r^2$ ，因 $(q,r)=1$ ，故 $q|r$ 。这与 $1\le r<q$ 矛盾。假设不成立，命题成立。

评注本题是一个古老的问题，一般使用无穷递降法解决，(2)式巧妙构造并利用带余除法，推导一个整除性矛盾，最终证明了命题。

最后编辑于：2022.09.03 18:31:08

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