利用"带余除法"证明根号2是无理数

题 证明： 是无理数。
证明 假设是有理数，那么存在互素的正整数，满足，从而有
于是知，所以存在一个，使

代入(1)变形得：
所以，因，故。这与矛盾。假设不成立，命题成立。

评注 本题是一个古老的问题，一般使用无穷递降法解决，(2)式巧妙构造并利用带余除法，推导一个整除性矛盾，最终证明了命题。