读题后很容易得到一个等边三角形ADC,与等边三角形有关的最值容易联想到旋转模型。进一步作如下分析:
1.问题是求一条线段的最小值,一般两种:点线最值的垂线段最短和点圆最值的一箭穿心。不管是哪一种都应该是一定一动类型,而这个题两个点都是动点,所以需要转化线段。
考虑D是等边三角形的一个顶点,所以利用旋转转化。把AE也绕点A逆时针旋转60°,到AE' ,连接CE',则CE'=DE,问题转化为求定点C与动点E'之间的线段CE'的最小值。
2.确定E'的运动轨迹。根据瓜豆原理,主动点A在线上运动,所以点E也在线上运动,那么点E'也在线上运动。所以是点线最值,那么点E'的运动轨迹是哪条线呢?
两点确定一条直线。所以找到两个特殊的点,就可以确定这条直线,可以用起点、中点和终点。
题中只有一条已知直线BC,A点运动相当于D点运动,所以从点D入手。
当点D为BC中点时,易得ΔABC是直角三角形,此时AB=7√3,AN=AE=7√3/3,旋转后AN⊥BC。
当点D到终点与B重合时,ΔABC为等边三角形,AB=14,AM=AE=28/3,旋转后AM在AC边上,则CM=14/3。
3.运算。D为AD中点时,可得CN=BE=7√3/3,且∠BCN=30°,所以∠MCN=90°。
CM=14/3,利用相似或者锐角三角函数即可求出CE'的最小值为2√21/3。