关于昨天的问题，偏序集作为范畴时，对象的积就是下确界，在重新看了定义后，了解到对于任意三元组，都要有唯一态射到积所对应的三元组，由于范畴是偏序集，这就意味着虽然有许多满足条件的三元组，但是只有最大的那个才是积。

关键就在于序不是对称的关系。对于通常数学对象的积，是不会有这种极值性的。

积的对偶概念是余积。

把箭头都给掉个头，就是余积了。根据对偶原理，就有下面的命题成立。

对象族的余积在同构下唯一，可以记为。同样，还有广义结合律成立。

余积的例子。

a.集合范畴中，余积就是不交并。如何构造不交的集合，就是对每个组分集合添加索引，通过有序二元组来区分重复元素。标准映射就是一个含入。

b.拓扑空间范畴中，拓扑空间族的余积就是，基础集为基础集族不交并，拓扑为拓扑族的不交并。

c.紧豪斯多夫空间和连续映射所构成的范畴中，有限对象族的余积像拓扑空间范畴中那样。任意的余积也是存在的，但是需要更加复杂的讨论。

d.小范畴范畴中，一族范畴的余积就是他们的不交并。

e.上面的一大串，说了一个事实，群范畴中，对象的余积就是这些群的自由积。至于自由积怎么构造，就是生成元那一套，将群的基础集的不交并中的元素视为字符，通过字符并置运算给出字符串集，将字符串通过复合运算化为最简，就得到了自由群，这一步也可视为对化简规则所成等价关系的商运算。标准映射就是群元素到该元素的字符串等价类。

f.交换群范畴中，余积就是直和。直和的一族组分之间是互不干涉的，结合律按分量定义，标准映射定义为，定义域所属组分非零，其他组分为零。唯一分解同样按分量给出，因为非零项是有限的，所以和是有意义的，这个和其实就是交换群的运算，群乘法可写作加法。

g.带幺交换环范畴，余积就是推广的张量积，

h.巴拿赫空间和线性收缩，类似于交换群中的做法，按分量定义，整体视为一个和。

i.偏序集视为范畴，余积就是上确界。调转箭头，易证。

余积虽然出自于积的对偶，却也有着独特的性质，有的很直观，有的就不那么容易看出来。作为一种十分基础的结构，在不同的领域中，表现也是截然不同的。很神奇的事情，从几乎毫无相似之处的对象间找到共性，提炼出这样精炼的结构，让人拍手称快。