高等数学系列：隐函数求导技巧

关键词：高等数学，隐函数，导数

隐函数的定义

函数表达式是直接显然的成为显函数，比如

  • y = \sin x
  • y = x^2 - 1

而有一类函数y不是直接由x的表达式展示出来，而是蕴含在y和x的关系等式中，不能直接看出y和x的关系，这种函数叫隐函数，比如

  • e^y + xy = e
  • xy + x^2 = 3

有的隐函数可以转化为显函数，比如下面一个式子，而有的不能转化，比如上面一个式子。

一般的，定义方程F(x, y)=0确定y是x的函数，称为隐函数，称y=f(x)为显函数。

隐函数求导方法

隐函数有专门的隐函数求导方法，不需要将隐函数转化为显函数，而且有的隐函数无法转化为显函数，隐函数求导方法步骤为

  • 1.对于方程F(x,y)=0两边同时对x求导，其中原式中
    x部分直接正常对x做链式求导，y部分当成x的复合函数，因此y部分也要求导，y部分的求导分为外侧链式求导和最内部的y自身对x求导，y自身对x求导就是一阶导用y'表示，常数项求导全是0，最终方程变为有x，y，y'的新方程。
  • 2.整理1中的新方程，将y'整理到一侧，即可求出隐函数的一阶导数

举例，以一个简单的可转化为显函数的隐函数比如
xy+x^2=3
如果先将他转化为显函数求导，则有

y = \dfrac{3 - x^2}{x}

y' = -\dfrac{x^2 + 3}{x^2}

而如果用隐函数的求导方式，两边对x求导，则有
y + y'x + 2x = 0

y' = -\dfrac{2x + y}{x} = -2 - \dfrac{y}{x}

由此可见，都是对y求导数，答案却不一样，常规的方法y‘表示为只有x的表达式，而隐函数求导方法表达式中会既有x也有y。这意味着，一般的求导方法再获取导数表达式后，只需要知道点的横坐标x即可求得具体的导数值，而隐函数求导方法需要知道完整的点横坐标和纵坐标，才能求得该点的导数值。
举例对于上述原方程，点(1, 2)，(2, -1/2)都是方程上的点，用一般方法求导公式带入得，y'=-(1^2+3) / 1^2=-4，用隐函数求导结果得y'=-2-2/1=-4，算出的针对某个点的导数结果一致，所以两种方法求得的导数表达式都正确。

[例题1]

求 \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) = \ln \sqrt{x^2 + y^2} 的导数 \dfrac{dy}{dx}

解:
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)

两边对 x 求导：

\frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \left( \frac{y'x - y}{x^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (2x + 2yy')

\frac{xy' - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + yy'}{x^2 + y^2}

xy' - y = x + yy'

(x - y)y' = x + y

\frac{dy}{dx} = y' = \frac{x + y}{x - y}

[例题2]

设方程 e^y + xy = e 确定 y 是 x 的函数，求 \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=0}

解:
先两边对 x 求导，求 \frac{dy}{dx}：

e^y \cdot y' + (y + x y') = 0

整理得：

\frac{dy}{dx} = y' = -\frac{y}{x + e^y}

表达式中既有 x 又有 y，需要代入完整的点的横纵坐标。
先求出当 x = 0 时，由原方程 e^y + 0 \cdot y = e 得 e^y = e，所以 y = 1。

因此：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = -\frac{1}{0 + e^1} = -\frac{1}{e}

隐函数求二阶导

求隐函数的二阶导，先求出一阶导表达式，再此基础上再对方程两边求x的导数即可，注意二阶导数中的一阶导数要做带入替换，最终的表达式只有x，y。

[例题3]

设 xy + x^2 = 3 确定 y 是 x 的函数，求 \dfrac{d^2y}{dx^2}

解:
先求一阶导数：

y + y'x + 2x = 0

y' = -2 - \frac{y}{x}

对此表达式再求导：

y'' = -\frac{y'x - y}{x^2}

将 y' = -2 - \dfrac{y}{x} 代入：

y'' = -\frac{\left(-2 - \frac{y}{x}\right)x - y}{x^2} = -\frac{-2x - y - y}{x^2} = -\frac{-2x - 2y}{x^2} = \frac{2x + 2y}{x^2}

即：

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(x + y)}{x^2}

[例题4]

已知函数 y = y(x) 由方程 e^y + 6xy + x^2 - 1 = 0 确定，则 y''(0) = \underline{\quad}

解:
此题要求出具体某一点的导数值，且明显为隐函数，因此需要先求出对应的坐标点。当 x = 0 时带入方程，得 y = 0。

先求一阶导数，对原方程 e^y + 6xy + x^2 - 1 = 0 两边关于 x 求导：

e^y \cdot y' + 6y + 6xy' + 2x = 0

再对两边关于 x 求二阶导数，不需要整理成 y' 的表达式，因为可以通过直接带入 x = 0 和 y = 0 来求出 y'，然后继续求 y''。

对方程两边再关于 x 求导：

e^y \cdot (y')^2 + e^y \cdot y'' + 6y' + 6y' + 6xy'' + 2 = 0

简化后得：

e^y \cdot (y')^2 + e^y \cdot y'' + 12y' + 6xy'' + 2 = 0

带入初始条件，将 x = 0 和 y = 0 带入第一次求导公式：

e^0 \cdot y' + 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0 \cdot y' + 2 \cdot 0 = 0

即：

y' = 0

将 x = 0，y = 0，和 y' = 0 带入第二次求导公式：

e^0 \cdot (0)^2 + e^0 \cdot y'' + 12 \cdot 0 + 6 \cdot 0 \cdot y'' + 2 = 0

即：

y'' + 2 = 0

解得：

y'' = -2

因此，y''(0) = -2。

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