线性代数系列：二次型题目技巧

关键词：线性代数，二次型

内容摘要

根据条件求二次型中未知参数
求规范形（选择题）
判断矩阵合同

根据条件求二次型中未知参数

[例题1]

若二次型
$f(x_1, x_2, x_3) = a x_1^2 - 2 x_3^2 - 2 x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + 2b x_2 x_3$
在正交变换下的标准形为
$y_1^2 - 3 y_2^2$
则 $b = \ ?$

知识准备：

正交变换是三种将二次型化为标准型的方法之一，另外两种是配方法和初等变换法，其中只有正交变换的最终标准形和变换矩阵是唯一的，另外两种的结果不唯一

正交变换这种方法的本质，是因为二次型转化为标准型本质是把二次型矩阵转化为对角矩阵，因为二次型矩阵是实对称的，根据实对称矩阵一定可以通过对角化化为对角阵
$P^{-1}AP = D$
进一步对P做施密特正交化
$P^T A P = D$
这个式子就是二次型中对对未知数X引入线性变化做换元之后式子的中间部分
$f(\mathbf{x}) = (\mathbf{C}\mathbf{y})^T A (\mathbf{C}\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T \mathbf{C}^T A \mathbf{C} \mathbf{y}$
中间这个 $C^TAC$ 是一个对角矩阵，他等于A的特征值形成的主对角线，该二次型化为标准型对应的线性变换就是C，即施密特正交化之后的特征向量P。

解:
此题要求用正交变换求解标准形，则标准型和线性变换唯一，先将二次型转化为矩阵
$A = \begin{bmatrix} a & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{bmatrix}$

由题中所给的标准型可知，二次型矩阵的特征值为 $1, -3, 0$ ，
所以矩阵的迹为 $1 + (-3) + 0 = -2$ 。
又因为矩阵的迹等于主对角线元素之和，即 $a + 0 + (-2) = a - 2$ ，
所以有：
$a - 2 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = 0$
将 $a = 0$ 代入原矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{bmatrix}$

再根据特征值的乘积等于矩阵的行列式，有：

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & b \\ 1 & b & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) \cdot 0 = 0$

计算行列式并令其等于 0，解得 $b = 1$ 。

求规范形（选择题）

知识准备
一个二次型可以用多种方法转化为标准型，标准型可以进一步转化为规范型，他的所有规范型的正负惯性指数相同，但是规范型可以不同，元素之间可以调换位置，但是正负号的个数要相同。

[例题2]

二次型
$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_2x_3$
的规范型是：

A. $z_1^2 + z_2^2 - z_3^2$
B. $z_2^2 - z_3^2$
C. $z_1^2 - z_2^2 - z_3^2$
D. $z_1^2 + z_2^2$

解:
转化为二次型矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
直接用初等变换发求出这个对角阵
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
最终正惯性指数为2，负惯性指数是1，所以答案中应该有2个1，1个-1，答案选A。

判断矩阵合同

知识准备
两个合同的矩阵一定秩相等，并且他们化为规范型之后，正负惯性指数相等。

[例题3]

与矩阵
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$
合同的矩阵是：

A.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

B.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

C.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

D.
$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

解:
直接对A做规范化
$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

正惯性指数1，负惯性指数1，因此答案选B。

线性代数系列：二次型题目技巧