线性代数系列：二次型知识点学习笔记

关键词：线性代数、二次型

内容摘要

判断二次型
给定二次型，写出矩阵表达式
给定二次型矩阵，写出二次型
二次标准型和线性替换
矩阵合同以及合同的性质
矩阵合同、相似、等价关系对比
化二次型为标准型
规范型和正负惯性指数

判断二次型

都是二次项形成的多项式为二次型，例如
$x^2 + xy + y^2$

$x^2$ 、 $y^2$ 是二次项，叫做平方项
$xy$ 是 $1+1$ 次的二次项，叫做交叉项

而以下式子都不是二次型，比如
$x^2 - xy^2 + y^2$
$x_1^2 - x_2 + 3$
$x^2 + y^2 - 6$

其中常数项为0次，都不符合二次型。
我们叫
$f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ =...，为n元二次型，里面有n个变量。

给定二次型，写出矩阵表达式

将二次型的系数转化为矩阵，具体的，将平方项系数写到主对角线，将交叉项系数除以2之后写在对应交叉位置。
例如
$x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - x_2x_3 + 2x_3^2 - 2x_1x_3$

该二次型转化为矩阵表达式为
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{1}{2} & 2 \end{bmatrix}$

二次型可以通过矩阵和未知数向量表示出来，以本例为例
$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{1}{2} & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - x_2x_3 + 2x_3^2 - 2x_1x_3$

其中矩阵的秩就是二次型的秩。

给定二次型矩阵，写出二次型

若已知为二次型，则一定是对称阵，例如

深色版本
已知二次型矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}$ ，则二次型为：
$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 2x_1x_3 + x_2x_3$

若未提及二次型矩阵，可以使用非对称矩阵，例如
$f(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$
则
$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_3^2 + 2x_1x_2 + 5x_1x_3 + 2x_2x_3$

二次标准型和线性替换

只有平方项，没有交叉项的二次型叫做标准型，例如
$x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2$
$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$
$z_1^2 + z_3^2$

以上都是标准型，我们希望所有的二次型都化标准型，这样他的二次型矩阵就能够是对角阵，便于分析计算，所有的二次型都可以化为标准型。
为了将二次型转化为标准型，我们需要引入一次或多次线性变换作用于未知数上，在原二次型中
$f(\mathbf{x}) = \mathbf{X}^T A \mathbf{X}$

其中X是原始未知数，A是二次型矩阵，A是对称矩阵，对X做线性变换，引入
$\mathbf{X} = C \mathbf{Y}$

带入原式
$f(\mathbf{x}) = (C\mathbf{Y})^T A (C\mathbf{Y}) = \mathbf{Y}^T C^T A C \mathbf{Y}$

此时如果中间 $C^T A C$ 是一个对称且对角阵则能实现标准化，所以问题转化为这个Y怎么求取才能满足条件。 $C^T A C$ 本质上是对二次型矩阵做合同变换成为对角阵。
另外这个线性变换可以引入多个，例如
$\mathbf{X} = C_1 \mathbf{Y}, \quad \mathbf{Z} = C_2 \mathbf{Y}$
则原式等于
$f(\mathbf{x}) = (C_1 \mathbf{Y})^T A C_1 \mathbf{Y} = \mathbf{Y}^T C_1^T A C_1 \mathbf{Y} = (C_2 \mathbf{Z})^T C_1^T A C_1 C_2 \mathbf{Z} = \mathbf{Z}^T C_2^T C_1^T A C_1 C_2 \mathbf{Z}$

此时 $C_2^T C_1^T A C_1 C_2$ 为对角阵，并且

$\mathbf{X} = C_1 C_2 \mathbf{Z}$

矩阵合同以及合同的性质

A，B为n阶方阵，存在可逆矩阵C，使得 $C^T A C = B$ ，则两个矩阵合同，记作 $A \simeq B$ 。

性质一：反身性

$A \simeq A$ ：
即矩阵和它自身合同，易得，当C取单位矩阵E时，合同成立，所以矩阵和它自身合同

性质二：对称性

若 $A \simeq B$ ，则 $B \simeq A$
因为 $A \simeq B$ ，则 $C^T A C = B$ ，同时左乘 $(C^T)^{-1}$ ，右乘 $C^{-1}$ ，则

$A = (C^T)^{-1} B C^{-1} = (C^{-1})^T B C^{-1}$

符合合同的公式，因此 $B \simeq A$

性质三：传递性

若 $A \simeq B$ ， $B \simeq C$ ，则 $A \simeq C$
将 $C_1^T A C_1 = B$ 代入 $C_2^T B C_2 = C$ 得：
$C_2^T C_1^T A C_1 C_2 = C$
即：
$(C_1 C_2)^T A C_1 C_2 = C$
符合合同的公式，因此 $A \simeq C$

性质四：秩相等

若 $A \simeq B$ ，则 $R(A) = R(B)$
因为 $A \simeq B$ ，则有 $C_1^T A C_1 = B$ ，A左乘非逆或者右乘非逆，秩不变，因此若AB合同，则 $R(A) = R(B)$

性质五：同对称性

若 $A \simeq B$ ，若B为对称阵，则A也是对称阵，反过来也成立
因为B对称，则 $B^T = B$ ，则
$C^T A C = B = B^T = (C^T A C)^T = C^T A^T C$
因此 $A = A^T$ ，A也是对称阵

性质六：逆合同

若 $A \simeq B$ ，则 $A^{-1} \simeq B^{-1}$
两边取逆即可证明，略。

性质七：转置合同

若 $A \simeq B$ ，则 $A^{T} \simeq B^{T}$
两边取转置即可证明，略。

矩阵合同、相似、等价关系对比

等价：要求AB同型，不要求方阵，存在可逆PQ使得 $PAQ=B$
相似：要求AB同阶方阵，存在可逆P使得 $P^{-1}AP=B$
正交相似：在相似的基础上，要求P是正交矩阵，此时不仅有 $P^{-1}AP=B$ ，也有 $P^{T}AP=B$ ，因为正交矩阵 $P^{-1}=P^{T}$
合同：要求AB同阶方阵，存在可逆P使得 $P^{T}AP=B$

因为等价要求2可自定义矩阵P和Q，而相似、合同都只允许一个，且相似、合同的形式也符合等价，所以相似、合同必定等价，等价是关系最轻的关系。
正交相似既符合 $P^{-1}AP=B$ 也符合 $P^{T}AP=B$ ，所以正交相似既是相似也是合同，正交相似是关系最强的关系。
相似和合同是并列的。

化二次型为标准型

化二次型为标准型有三种方法，分别是配方法，初等变换法，正交化，以一个题目为例，用三种方法分别做标准化

$f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$

配方法

$f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$

通过配方法化为：

$= 2(x_1 + x_2 - x_3)^2 + 3\left(x_2 - \frac{2}{3}x_3\right)^2 + \frac{5}{3}x_3^2$

令
$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 - x_3 \\ y_2 = x_2 - \dfrac{2}{3}x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$ 则
$f(x_1, x_2, x_3) = 2y_1^2 + 3y_2^2 + \frac{5}{3}y_3^2$

求线性变换Y，将上式x，y的关系转化为
$\begin{cases} x_1 = y_1 - y_2 + \dfrac{1}{3}y_3 \\ x_2 = y_2 + \dfrac{2}{3}y_3 \\ x_3 = y_3 \end{cases}$

则可逆变换矩阵为
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & \dfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

初等变换法

先转化为二次型的矩阵表示
$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{bmatrix}$
将A和单位阵上下联立
$\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ \hline 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

做列变换，同时做相对应的行变换，直到将A变成对角阵，先将第二列减去第一列，再将第一列和第三列相加

$\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \\ \hline 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

做对应的行变换，第二行减去第一行，第三行加上第一行

$\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \\ \hline 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

第二列乘2加上第三列乘3
$\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 5 \\ \hline 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

做对应行变换
$\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 15 \\ \hline 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

因此标准型为
$f(x_1, x_2, x_3) = 2y_1^2 + 3y_2^2 + 15y_3^2$
对应的线性变换为
$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

初等变换的结果和配方的结果不一样，但是两个都是正确答案，原因是二次型的标准型不唯一，但是他们的规范型和正、负惯性指数相同。

正交化

因为二次型矩阵是实对称矩阵，根据任意实对称矩阵都已通过正交化转化为对角阵，这正是做标准型的目，因此对二次型矩阵做正交化为对角阵
$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{bmatrix}$
求特征值
$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda - 5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda - 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -2 & 2 \\ 0 & \lambda - 1 & \lambda - 1 \\ 2 & 4 & \lambda - 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -2 & 4 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 2 & 4 & \lambda - 9 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2(\lambda - 10) = 0$
则λ1=λ2=1，λ3=10，求特征向量
当 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ 时，对应的特征向量为：

$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

当 $\lambda_3 = 10$ 时，对应的特征向量为：

$\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

a1和a2不正交，令正交向量v1=a1，对a2做施密特正交化
$\mathbf{v}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{a}_2 \rangle}{\|\mathbf{v}_1\|^2} \mathbf{v}_1$

$\mathbf{v}_2 = 1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{4}{5} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \dfrac{2}{5} \\[1em] \dfrac{4}{5} \\[1em] 1 \end{bmatrix}$

对 $\mathbf{v}_1$ 、 $\mathbf{v}_2$ 、 $\mathbf{a}_3$ 进行单位化，则：

$\mathbf{v}_{1e} = \begin{bmatrix} -\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\[1em] \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\[1em] 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_{2e} = \begin{bmatrix} \dfrac{2\sqrt{5}}{15} \\[1em] \dfrac{4\sqrt{5}}{15} \\[1em] \dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_{3e} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{3} \\[1em] -\dfrac{2}{3} \\[1em] \dfrac{2}{3} \end{bmatrix}$

所以对应的线性变换为

$Q = \begin{bmatrix} -\dfrac{2\sqrt{5}}{5} & \dfrac{2\sqrt{5}}{15} & -\dfrac{1}{3} \\[1em] \dfrac{\sqrt{5}}{5} & \dfrac{4\sqrt{5}}{15} & -\dfrac{2}{3} \\[1em] 0 & \dfrac{\sqrt{5}}{3} & \dfrac{2}{3} \end{bmatrix}$

二次型的标准型为
$f(x_1, x_2, x_3) = y_1^2 + y_2^2 + 10y_3^2$

通过正交化求二次型标准型是唯一的，但是对应的线性变换并不唯一。

规范型和正负惯性指数

在规范型中二次型矩阵的元素只会是1，0，-1中的一个，正惯性指数为所有1的系数的个数总和，负惯性指数为所有-1的系数的个数总和，二次型矩阵的秩等于正惯性指数+负惯性指数。

线性代数系列：二次型知识点学习笔记