正规子群，单群和导群

我们之前以及介绍了群的基本概念，于是我们接下来想要研究群的结构。这节我们会涉及到一些种类的群。

共轭元素和共轭子群
①共轭元素，设 $G$ 为一个群, $a,g$ 为群 $G$ 中的元素，我们把 $gag^{-1}$ 称为 $a$ 在 $g$ 作用下的共轭，不难验证，共轭是一种等价关系。
②共轭子群：设 $H\leq G$ ，我们定义 $gHg^{-1} = \{ghg^{-1} | h \in H \}$ 为 $H$ 在 $g$ 作用下的共轭子群，不难验证 $gHg^{-1}$ 也是一个子群。

并且我们可以通过构造双射 $\sigma(h) = ghg^{-1}： H \rightarrow gHg^{-1}$ ，不难验证，这是一个同构映射，有此我们可以说明共轭子群之间是同构的，并且共轭子群是一种等价关系。

接下来我们先来介绍正规子群的概念，研究它的性质可以为我们后续商群的构造做贡献。
正规子群(Normal subgroup):我们假设 $H$ 为 $G$ 的子群，记作 $H\leq G$ ,如果它满足，对任意的 $h \in H,g\in G$ 都有 $ghg^{-1}\in H$ ,我们就称 $H$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $H \lhd G$ 。

注记：
①显然，交换群的所有子群都是正规子群。
②群 $G$ 的中心 $\mathbb{Z}(G)= \{ z \in G| zg = gz , \forall g \in G \}$ 是 $G$ 的正规子群。【中心元素与 $G$ 中所有元素可交换，具有共轭不变的性质】
③根据最开始共轭的定义，我们可以发现，正规子群的共轭子群都是它本身，因此我我们定义的共轭作用 $\sigma(h) = ghg^{-1}$ q其实诱导了一个群 $H$ 上的自同构。

正规子群的性质：我们假设 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，这一结论的充分必要条件是 $H$ 的任意的两个左陪集的乘积仍然是左陪集，任意两个右陪集的乘积仍然是右陪集。

接下来，我们用 $G/H$ 表示正规子群 $H$ 所有右陪集构成的集合。并在这个集合上定义群乘法: $(Ha)(Hb) = Hab$ 不难验证，在我们定义的运算下 $G/H$ 构成了一个群，我们称为 $G$ 对正规子群 $H$ 的商群。

单群：如果一个群没有非平凡的正规子群。【也就是说他的正规子群只有 $\{e\}$ 和它本身】，我们就把他称为单群。

常见单群的例子：
①素数阶循环群: $\mathbb{Z}_p$
②在 $n \geq 5$ 时，交错群 $A_n$ 都是单群。

换位子
我们知道，对于群的性质，我们是不要求交换律的，也就是并不是所有的群是可交换的，那接下来我们考虑，具有何种性质的群是可交换群。
如果一个群 $G$ 是可交换的，那么对于任意的 $a,b\in G$ :
我们有 $ab = ba$ ,也就是说 $aba^{-1}b^{-1}=e[单位元]$ 。
所以我们考察群 $G$ 中形如 $aba^{-1}b^{-1}$ 的元素，我们它称为 $a$ 和 $b$ 的换位子，记作 $[a,b]$ 。
导群【换位子群】
我们把群 $G$ 中所有形如 $xyx^{-1}y^{-1}$ 的元素构成的集合 $\{xyx^{-1}y^{-1}|x, y \in G \}$ 称为 $G$ 的换位子群，或者导群。记作 $G'$ 或者 $[G,G]$ 。