1. 传授给学生的观点和能力，只有能让他们把握时代的思想潮流教育才能卓有成效和蒸蒸日上。

      2.我们所说的“现代”是指无论是观念的传授还是能力的培养都要和现代思想联系起来。也就是一个有教养的社会普遍接受的那些思想。深奥的学科，不宜纳入一般教育的问题。

      3.数学是典型的深奥学科。所谓深奥不是指困难，而是指牵涉到的那些观念有着高度专门的应用，而且极少影响日常的思维。扩大数学教育的范围不能一味盲目的增加数学课程，我们必须直面真正的难题，数学的深奥阻碍了数学的广泛应用。但是，数学给学生带来兴趣的原因，也正是它在教育中的作用受到妨害的原因，即根据相互关联的一般定理，可以进行无限的演绎。这些演绎既复杂又似乎与作为论证起点的那些观点相去甚远，还需要运用各种各样的方法，而且具有纯粹的抽象性——永恒真理就是这种抽象性给予我们的馈赠。这些特征会在教育中造成非常消极的后果，眼花缭乱的细节会让学生茫然无措，他们看上去无关重大的原理，也无关日常的思维。为了让学生掌握更多的细节，而增加这方面的训练，对教育来说得不偿失。

      4..如果数学要在一般教育中发挥作用，其内容必须经过严格的筛选和调整，无论学生的进步多么有限，我们都必须彻底消除这门学科的某些特征，不管这些特征出现在什么阶段，呈现给年轻学生的数学必须丢掉它艰深的一面，它看起来必须是简单而直接的处理若干意义深远的一般原理。

      5.要打破死板的旧传统，进行重建所应该遵循的指导思想是我们必须让数学教育变得浅显易懂。讲授的课程应该设计成深入浅出的解释一系列具有显著重要性的原理，要杜绝一切无关内容，哪怕他们是饶有趣味的。我们所致力的目标是让学生熟悉抽象思维，知道如何将抽象思维应用于特定的具体情形，并且懂得怎样运用一般方法进行逻辑研究。最糟糕的莫过于在教科书里盲目堆砌各种公式，这些公式的存在价值仅仅在于可以逼学生记住它们，以方便考官出题。供学生用的教科书，应该只包含那些对解释原理来说至关重要的内容，只要老师觉得有必要可以尽可能的去多举例子。如果考试出的题目，实际上要求学生把知识拓展到掌握某些深奥的细节，那么简化的教材就是徒劳的。只有那些熟记大量知识的学生才能答对试卷中的难题。教材只要编写得当，不像往常那样通常那样粗制滥造，充斥着零碎知识，再辅之以直观的例子，就能很好地测试学生的能力。

    5.把数学纳入通识教育的主要目的之一，就是训练学生如何处理抽象观念。数学观念是以精确形式自然的出现在学生头脑中的第一批抽象观念。作为教学科目，数学包括数值关系、数量关系和空间关系。

      6.教学是一个从特殊到一般的过程，因此教孩子们运用数值、数量和空间观念时，应该借助一些简单的例子进行练习。教学目标不是让学生盲目积累许多专门的数学公式，而是让他们最终认识到，他们这些年的所学可以用来阐明这些极为根本的数值、数量和空间关系，我们应该不惜一切的避免增加那些无谓的细节。

      7.通识教育针对的是所有学生要发挥数学的一般作用，应该借助实例进行充分解释，让学生简单地学习一些普遍原理。这种学习应该是自成体系，在与上面提到的专业学习完全分离的，同时可以为后者打下扎实的基础。它的最终阶段应该是让学生掌握通过教学阐明的那些普遍原理。

      8.复习要全面回顾已学的内容不必过分注重细节，而要强调一般原理的运用以及它们在进一步学习中所具有的潜在价值，此外要集中复习分析和几何方面的原理。在数学课程的后半段学习内容的选择，应该设法突出之前的学习所基于的那些一般原理。可以明确引入一个全新的主题，谨慎选取那些较为重要的命题，对其中的证明也要仔细修改，我们不需要讲授它的全部内容，而只要抓住体现基本原理的那几个命题。这个主题不适合课业落后的学生，但一定会激起优秀学生的兴趣，这方面的教学绝不能空谈理论每一个阶段，都要援引实力来加以说明，这些实力可以缺少数量特征，也可以只显露模糊的数量特征，可以具有难以确定的数量特征，可以展示一目了然的数量特征。

我的理解：数学是典型的深奥学科，但是它作为一门通识课程，面对所有的学生，所以编写的课程要浅显易懂，要深入浅出地借用实例解释一些重要的原理。期末复习的时候，全面回顾已学的内容，不必过分注重细节，要强调一般原理的运用以及他们在进一步学习当中的潜在价值。在数学学习的后半段学习内容设法突出前半段所学习的原理，可以明确一个全新的主题，激发优秀学生的兴趣，充分挖掘优秀学生的潜能。