有理数的稠密性

我们知道。任何两个有理数之间还有有理数,下面证明一个更强的结论

$\color{red}{\textbf{命题1}}$

任意一个开区间内都有无穷多个有理数.

首先, $\forall x \in \mathbb{R}, \forall p \in \mathbb{N}^{+}, \exists q \in \mathbb{Z}$ 使得
$q \leqslant p x<q+1,\mbox{由此得}0 \leqslant x-\frac{q}{p}<\frac{1}{p}$
从而 $\left|x-\frac{q}{p}\right|<\frac{1}{p}$ ,因此,实属都可以用有理数来逼近。
其次,每个开区间内至少有一个有理数。
事实上,对任一开区间 $(a,b),\forall x \in (a,b)$ ,则 $p \in \mathbb{N}^{+}$ 充分大时, $x-\frac{1}{p} \in(a, b)$ ,于是由上面的证明, $x-\frac{1}{p} \in(a, b)$ 使得 $0 \leqslant x-\frac{q}{p} < \frac{1}{p}$ ,因此 $\frac{q}{p} \in(a, b)$
最后,由于每个区间内都有有理数,从而可知每个区间内必有无穷多个有理数.
事实上,若某区间 $[a,b]$ 只有有限个有理数,则可设r是其中最小的有理数,于是子区间 $(a,r)$ ,矛盾。

上确界与下确界

$\color{red}{\textbf{定义1}}$

设S是一个非空数集,如果 $\exists M \in \mathbb{R}$ ,使得 $\forall x \in S$ ,都有 $x \leqslant M$ ,则称 $S$ 是有上界的（boundedabove),而称 $M$ 是 $S$ 的一个上界(upper bound)；
如果 $\exists m \in \mathbb{R}$ ,使得 $\forall x \in S$ ,都有 $x \geqslant m$ ,则称 $S$ 是有下界的(bounded below),而称 $m$ 是 $S$ 的一个下界(lower bound).当数集 $S$ 既有上界,又有下界,则称 $S$ 为有界集.

由此可见, $S \text { 有界 } \Longleftrightarrow \exists C>0$ ,使得 $|x| \leqslant C, \forall x \in S$ 。
显然,任何有限区间 $[a,b]$ 或 $[a,b)$ 或 $(a,b]$ 及其有限个并都是有界集,而自然数集 $\mathbb{N}$ 、有理数集 $\mathbb{Q}$ 以及实数集 $\mathbb{R}$ 都是无界集.
另一方面,对闭区间 $[a,b]$ 而言, $b$ 是它的最小上界,且 $b \in [a,b]$ ,这时 $b$ 是闭区间 $[a,b]$ 的最大数, $b=\max[a,b],a=\min[a,b]$ ,而对区间 $[a,b)$ 来说, $[a,b)$ 没有最大数,但 $b$ 为其最小的上界.我们将把最小上界称为上确界.严格定义如下.

$\color{red}{\textbf{定义2}}$

设 $S$ 是一个非空数集,如果存在实数 $\beta$ 满足下列条件：

$\forall x \in S,x \leqslant \beta;$

$\forall \varepsilon>0, \exists x \in S, \text { 使得 } x>\beta-\varepsilon,$
则称 $\beta$ 为 $S$ 的上确界,记为 $\beta=\sup S$

类似地, $\alpha$ 称为 $S$ 的下确界记为 $\alpha=\inf S$ ,如果

$\forall x \in S, x \geqslant \alpha;$

$\forall \varepsilon>0, \exists x \in S, \text { 使得 }x<\alpha+\varepsilon$

注:由定义可知, $S$ 的上确界 $\beta=\sup S$ 如果存在,则 $\beta$ 是 $S$ 的一个上界,而且是 $S$ 的最小上界,即任何小于 $\beta$ 的数都不是 $S$ 的上界.
例题

设 $S=(0,1), T=\{x \mid x$ 为 $(0,1)\}$ 内的有理数, 則 $\sup S=\sup T=1, \inf S=\inf T=0$ ,但这两个集合都既没有最大数,也没有最小数.

确界存在原理

$\color{red}{\textbf{定理1}}$ (确界原理——实数系连续性定理)

非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

$\color{red}{\textbf{命题2}}$

非空数集的上、下确界都是唯一的.

证明:证明下面仅证明上确界的唯一性.设 $\beta_1,\beta_2$ 都是非空数集 $D$ 的上确界,若 $\beta_1<\beta_2$ ,则由 $\beta_2$ 为 $D$ 的上确界的定义知, $\exists x \in D, x>\beta_{1}$ ,但此与 $\beta_1$ 为 $D$ 的上确界矛盾.因此 $\beta_1 \geqslant \beta_2$ 、同理, $\beta_2 \geqslant \beta_1$ .由此知, $\beta_2 = \beta_1$ .

实数系

有理数的稠密性

上确界与下确界

确界存在原理

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