2011年理数上海卷题23

分值：18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.）

已知平面上的线段 及点 . 任取 上一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记作 .

（1）求点 到线段 的距离 ；

（2）设 是长为 的线段，求点的集合 所表示的图形面积；

（3）写出到两条线段 距离相等的点的集合 ，其中 ， 是下列三组点中的一组.

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是 ①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.

①;

②;

③.

2011年理数上海春季卷题21

分值：14分（第1小题满分4分，第2小题满分10分）

已知抛物线 .

（1） 的三个顶点在抛物线 上，记 的三边

所在直线的斜率分别为 ，若点 在坐标原点，求 的值；

（2）请你给出一个以 为顶点，且其余各顶点均为抛物线 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由.

说明∶第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

2012年理数上海卷题22

分值：16分. 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

在平面直角坐标系 中，已知双曲线 .

（1）过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为 的直线 交 于 两点.若 与圆 相切，求证：；

（3）设椭圆 . 若 分别是 上的动点，且 ，

求证： 到直线 的距离是定值.

2012年理数上海春季卷题21

分值：14分. 第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知双曲线 .

（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程；

（2）直线 分别交双曲线 的两条渐近线于 两点.当 时，求实数 的值.

2013年理数上海卷题22

分值：16分. 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3 小题满分8 分。

如图, 已知双曲线 , 曲线 . 是平面内一点, 若存在过点 的直线与 都有公共点 , 则称 为“ 型点”.

(1)在正确证明 的左焦点是“ 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线 与 有公共点, 求证 , 进而证明原点不是 “ 型点”;

(3)求证：圆 内的点都不是 “ 型点”

2013年理数上海卷题22

2014年理数上海卷题22

分值：16分.本题共有 3个小题,第1小题满分3 分,第2小题满分5分,第3 小题满分8分

在平面直角坐标系 中, 对于直线 和点 , 记 . 若 , 则称点 被直线 分隔. 若曲线 与直线 没有公共点, 且曲线 上存在点 被直线 分隔, 则称直线 为曲线 的一条分隔线.

(1)求证: 点 被直线 分隔;
(2)若直线 是曲线 的分隔线, 求实数 的取值范围
(3)动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 , 设点 的轨迹为曲线 . 求证: 通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 的分隔线.

2015年理数上海卷题21

分值：14分. 本题共有 2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

已知椭圆 , 过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 和 . 记得到的平行四边形 的面积为S.

(1)设 . 用 的坐标表示点 到直线的距离, 并证明

(2)设 与 的斜率之积为 , 求面积 的值.

2016年理数上海卷题21

分值：14分（第1小题6分，第2小题8分）

双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于 两点.

（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 . 若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.

2017年山东卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，焦距为 .
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 . 求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.

2017年山东卷题21

2020年理数上海春季卷题20

分值：16分

已知抛物线 上的动点 , 过 分别作两条直线交抛物线于 两点 ( 异于点 ), 交直线 于 两点.

(1)若点 的纵坐标为 , 求点 与焦点的距离；
(2)若 , 求证： 为常数；
(3)是否存在 , 使得 且 为常数？若存在, 求出 的所有可能取值；若不存在, 请说明理由.

2021年理数上海卷题20

分值：16分

如图, 已知椭圆 , 分别是其左、右焦点, 直线 过点 交椭圆 于 两点, 且 在 轴上方, 点 在线段 上.

(1)若 是上顶点, , 求 的值；

(2)若 , 且原点 到直线 的距离为 , 求直线 的方程;

(3)求证：对于任意 , 使得 的直线有且仅有一条.

2021年理数上海卷题20

2021年理数上海春季卷题19

分值：14分

（1）某团队在基地 点西侧东侧 千米处分别设有 两站点, 测量距离发现一点 满足 千米, 可知 在以点 为焦点的双曲线上. 以 点为坐标原点，正东方向为 轴正半轴方向，正北方向为 轴正半轴方向, 建立平面直角坐标系, 点 在基地 点北偏东 处, 求双曲线的标准方程和 点的坐标.

（2）该团队又在基地点南侧、北侧 千米处分别设有 两站点测量距离发现一点 满足 千米, 千米, 求 (精确到 千米)和 点的位置精确到 千米, ).

2022年理数上海春季卷题20

分值：16分

在椭圆 中, 分别为椭圆的左顶点和下顶点, 为右焦点, 两点均在直线 上, 且 在第一象限.
（1）若 , 求椭圆 的标准方程:
（2）若 两点的纵坐标分别为 和 . 判断：直线 与 的交点是否在椭圆 上, 并说明理由；
（3）设直线 与 椭圆 交于点 , 直线 与椭圆 交于点 , 且 关于原点对称, 求 的最小值