如图，正方体ABCD-的棱长为2、E、F分别是棱AB,BC上的点，且AE=BF=Х.
﹙1﹚当X为何值时，三棱锥BEF的体积最大？
﹙2﹚当三棱锥BEF的体积最大时，求二面角
EF
B的正确值；
﹙3﹚求异面直线与
所成角的取值范围.
解析
﹙1﹚在正方体ABCD→中
⊥平面ABCD,
故
将三棱锥
-BEF的体积表示成关于
的二次函数，体现了函数思想。
故当=1时，三棱锥
-BEF的体积取得最大值，为
.
﹙2﹚由﹙1﹚知，当E、F分别为AB,BC的中点时，三棱锥-BEF的体积最大，取EF的中点0，连接0B,
,如图，
则BOEF,易得
E=
F，所以
O⊥EF,
则 ∠0B是两面角
－EF－B的平面角。
在RtBEF中，BO=EF=
，
在RtO中，
∠
OB=
=
,
即三棱锥-BEF的体积最大时，二面角
－EF －B的正切值为
.
﹙3﹚在AD上取点H，使AH=BF=AE,连接H、EH、FH，如图，
易知HF=AB=,HF//AB//
,故四边形
FH是平行四边形，
则H//
F,故∠HA，E（或其补角）及为异面直线
E与
F所成的角。
在RtAH中，
H=
，
在RtAE中，
E=
，
在RtHAE中，EH=
，
在E中，由余弦定理的推论得cos∠HA，E=
，
将异面直线所成角的余弦值表示成关于的函数，通过变量的范围求异面直线所成角的取值范围，体现了函数思想。
易知O＜X ≤ 2，则4＜+4 ≤ 8，即
＜
＜1，即
≤cos∠
E＜1，则0＜∠
E=,所以异面直线
E与
F所成角的取值范围为（0，
〕.
思想方法：
函数思想在立体几何中的应用常体现在求线段的长度范围，体积、角度、面积的最值等，通过引入合适的变量把所有研究的问题转化为函数问题，通过函数性质解决，达到化难为易，化繁为简的目的，做题时应注意所引入的变量的取值范围。
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