立体几何之目：2013年文数A19~棱柱与四面体

2013年文科数学全国卷A题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.$

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

（Ⅱ）若 $AB=CB=2, A_1C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积.

2013年文科数学全国卷A

2013年文科数学全国卷A题19

【解答第1问】

连接 $BA_1$ ; 作 $AB$ 中点 $M$ , 连接 $MC,MA_1$ .

∵ $AB=AA_1, \angle BAA_1=60°$ , ∴ $AA_1=BA_1$

又∵ $MA=MB$ , ∴ $MA_1 \perp AB$

∵ $CA=CB, MA=MB$ , ∴ $MC \perp AB$

∵ $MA_1 \perp AB, MC \perp AB, MC \cap MA_1 =M$ ,

∴ $AB \perp$ 面 $MCA_1$ , ∴ $AB \perp A_1C$

【解答第2问】

根据第1问中的结论， $AB=AA_1=BA_1=2$ , ∴ $MA_1=\sqrt{3}$

∵ $CA=CB=AB=2$ , ∴ $CM=\sqrt{3}$

∵ $CM=MA_1=\sqrt{3}, A_1C=\sqrt{6}$ , ∴ $CM \perp MA_1$ , $\triangle CMA_1$ 是等腰直角三角形.

∵ $MA_1 \perp AB, MA_1 \perp CM, CM \cap AB=M$ , ∴ $MA_1 \perp$ 面 $ABC$

$S_{\triangle ABC}= \dfrac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \sqrt{3}$

$V_{ABC-A_1B_1C_1} = S_{\triangle ABC} \times MA_1 = 3$

【提炼与提高】

本题第1问是高频考点，在最近十年的高考中已经出现多次。详见【相关考题】中的清单。

第2问虽然考的是棱柱体积，但核心仍是四面体。这里我再强调一下：

立体几何的核心是四面体；把四面体玩转，立体几何就通了。

【回归教材】

本题第1问其实是一道课本题：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

【相关考题】

2007年文数海南卷题18

2017年文数C19

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 217,907评论 6赞 506
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,987评论 3赞 395
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 164,298评论 0赞 354
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,586评论 1赞 293
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,633评论 6赞 392
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,488评论 1赞 302
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,275评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,176评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,619评论 1赞 314
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,819评论 3赞 336
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,932评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,655评论 5赞 346
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,265评论 3赞 329
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,871评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,994评论 1赞 269
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,095评论 3赞 370
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,884评论 2赞 354

立体几何之目：2013年文数A19~棱柱与四面体

2013年文科数学全国卷A题19

推荐阅读更多精彩内容