立体几何之目：2007年文数海南卷题18与「常见四面体Ⅰ」

2007年文数海南卷题18（12 分）

18.（本小题满分12 分）

如图，A，B，C，D 为空间四点，在 \triangle ABC 中，AB=2，AC=BC=\sqrt{2}，等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 ADB \perp平面 ABC 时，求 CD ;

（Ⅱ）当 \triangle ADB 转动时，是否总有 AB \perp CD? 证明你的结论.

2007年文科数学海南卷

【解答问题Ⅰ】

记 AB 中点为 M，连接 MC,MD.

\because AC=BC, MA=MB

\therefore MC \perp AB （三线合一）

\because AD=BD, MA=MB

\therefore MD \perp AB

当平面 ADB \perp平面 ABC 时，MD \perp MC, CD^2=MC^2+MD^2

\because AB=2，AC=BC=\sqrt{2},\;\therefore AB \perp BC

又 \because MA=MB

\therefore MC=\dfrac{1}{2}AB=1

\because \triangle ADB 是等边三角形 \therefore MD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{3}

\therefore CD^2=4, CD=2.

【解答问题Ⅱ】

\because MC \perp AB, MD \perp AB, MC \cap MD = M

\therefore AB \perp 平面 MDC

又 \because CD \subset 平面 MDC

\therefore AB \perp CD. 证明完毕.

【回归教材】

这是一道源自课本题的高考题。原题是这个题：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

【提炼与提高】

在最近十年的高考中，这一题根改头换面，出现了多次。务必要引起高度重视。

因为这个模型频繁出场，我们给它起个名字：『第一类常见四面体』。注意这不是一个正式的数学术语，只是一个昵称。

『第一类常见四面体』的特征：一个面是正三角形，另一个面是等腰直角三角形。

以下两卷直接使用了本题的基本模型：

2009年理数海南卷题19

2017年文数全国卷C19

另外一些考题作了轻度改造，但是仍然可以认出这个『第一类常见四面体』：

2018年全国卷B（文数与理数使用同一模型）

2013年全国卷A

2014年全国卷A

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