立体几何之目：2014年文数A19：三棱柱与常见四面体

2014年文数全国卷A题19：三棱柱与常见四面体

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BB_1C_1C 为菱形，B_1C 的中点为 O，且 AO \perp 平面 BB_1C_1C.

（I）证明∶B_1C \perp AB ;

（Ⅱ）若 AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, BC=1，求三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的高.

2014年文科数学全国卷A

【解答第1问】

连接 BO.

∵ BB_1C_1C 为菱形，∴ BC=BB_1,

又∵ OC=OB_1, ∴ BO \perp CB_1.

∵ AO \perp 平面 BB_1C_1C, ∴ AO \perp CB_1

∵ AO \perp CB_1, BO \perp CB_1, AO \cap BO =O,

∴ CB_1 \perp 面 ABO, ∴ B_1C \perp AB.

【解答第2问】

三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的高，等于点 B_1 与面 ABC 的距离.

∵ BB_1C_1C 为菱形， \angle CBB_1=60°, ∴ BC=BB_1=CB_1=1

又∵ AC \perp AB_1, AC=AB_1, ∴ AO=\dfrac{1}{2}CB_1=\dfrac{1}{2}

∵ OA=OC,OB=OB,\angle AOC=\angle AOB=90°,

∴ \triangle AOB \cong \triangle COB, ∴ AB=BC=1

∴ S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}

S_{\triangle CBB_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}

三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的高 AO \times \dfrac{S_{\triangle CBB_1}}{S_{\triangle ABC}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}

【提炼与提高】

本题中，A-CBB_1 是一个常用四面体。它的特征是：有一个面是等边三角形，一个面是等腰直角三角形，有两个面是全等的等腰三角形。而且等边三角形与等腰直角三角形的所在平面相互垂直。

从解答过程可以看出，我们的大部分注意力都在四面体 A-CBB_1 上。而对 A_1,C_1 两个点没太在意。

在此分享一个学习经验：

四面体是立体几何的核心对象。把四面体玩熟，立体几何就通了。

【相关考题】

本题中的 A-CBB_1 是一个常见四面体。最近十年的高考题中多次使用。典型实例如下：

2007年文数海南卷题18

2017年文数C19

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