【新网师第四次预习作业·《诗意数学》课程】
从“0”开始数，践行诗意数学赋比兴
——以《角的度量》为例探究图形测量的一致性
提交人：220658史真真
前三讲作业已经交的请完成一篇听讲随笔，就前四讲中某一讲或几讲，发表随感，不少于300字。（如果愿意，也可以完成下面作业）
前三讲作业未交的，请完成一篇教学赏析性论文，格式可参照第四讲资源包，主题是：基于诗意数学的观点分析一节课，不少于3000字。
作业由来：
第四讲陈老师在课堂中多次提到了一致性，在第四资源包里。陈老师给出了这样的学习目标，通过本次课程的学习，希望学员能够思考并理解以下问题:数的认识与运算一致性指的是什么,体现在哪里？图形的认识与测量一致性指的是什么,体现在哪里？其他内容的一致性指的是什么，体现在哪里？正好执教的是四年级数学,第三单元《角的度量》，恰好就是图形的认识与测量领域里关于图形的测量的知识，我就思考我在上这个单元内容的时候，我是怎样来践行一致性的呢？
【课标解读】
《数学课程标准（2022 年版）》在“课程理念”中指出：“课程内容组织，重点是对内容进行结构化整合。”角的度量、长度的度量、面积的度量、体积的度量都属于图形的测量，因而有着相同的学习线索，都要经历“在比较中产生新的度量属性—自选标准量化新属性的大小—为了方便传播和交流创造统一的度量单位—使用统一的单位度量”这一过程。
《数学课程标准（2022 年版）》在“图形与几何”领域的“课程内容”中指出：“图形的测量的重点是确定图形的大小”，要让学生“经历统一度量单位的过程，感受统一度量单位的意义”，“感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识”。
【关键词】
诗意数学、统一、度量单位、累加、相同计量单位、表征
（一）带着对“赋比兴”的思考去备课
1、赋
就是直接叙述你所要写的事情。引用到我们数学课堂里，作为一种教学策略，就是直接讲述我们所要解决的数学问题。这个数学问题可能是生活的需要，可能是日常生活中的一个数学故事或是一个任务。也就是说在一堂课的开始，我们直接提出我们的问题，直接提出我们的任务，直接来讲述我们所要面临的一个数学的困境，这些都可以叫做赋。
思考一：角的度量要学什么？
通过对人教版、北师版和苏教版三种版本教材的横向比较，理清“角的度量”这节课要教什么，学生要学什么。人教版教材则通过“大多少”的追问，引发学生认知冲突，让孩子意识到只会比角的大小是不够的。从而产生对精准描述角的大小的需求，让学生感受到度量的作用，也引发了认识度量工具、度量单位的需求。
角的度量这节课里，是否有必要让学生感受到统一度量单位的必要性？
虑到学生在学习线段的度量、面积的度量这一系列的过程中已经比较充分地感受到统一单位的必要性，学生已经积累了比较丰富的相关经验，因此并没有刻意针对是否需要统一度量单位及为什么要统一度量单位进行专门的设计。但还是需要有这个过程的，于是我是这样设计的：
1.请你估一估老师手里的铅笔有多长？
引出：因为知道1cm有多长，所以推测出4cm有多长，4厘米和这根铅笔长度差不多，所以认为铅笔长大约4厘米左右。
2.请你估一估我们的数学书的封面的面积。
引出：因为知道1平方厘米和1平方分米有多大，所以才决定用平方分米做单位，推测这块正方形的面积大约是9平方分米。
总结：可见度量单位在测量活动中非常重要，那么角的测量需要什么单位作为度量标准？
感受长度、面积的测量都是长度单位和面积单位的累加过程，让孩子们有一个正迁移的感知，从而激发他们探索，测量角的时候是不是需要产生新的单位？
具体课堂切片（一）：
师：以前量长度的时候，我们是用一个小一点的线段长度作为单位去测量，量面积是用一个小正方形的面积，测量，这次量角的大小，可以用一个小一点角测量，所以，我用三角板上面的角量一量，∠1正好有一个这样的角。∠2有一个这样的角，但是还多一点，不能正好量完……同学们，这样操作，∠2不能正好量完，你们还有其他办法吗？
师：老师为你们准备了不同大小的角。∠3、∠4、∠5，你可以选择不同的角量一量，∠1和∠2，看看能表示它们的大小吗？拿出学习单开始吧~
师：通过测量，发现∠1里面能放三个∠5。正好量完，角∠2里面能放5个∠5，也正好量完，所以角∠1有3个∠5。∠2有5个∠5……看来∠5是一个小角，可以当做一个度量单位来帮我们测量角的大小。
设疑：那到底多小的角才合适呢？
2、比
比：先有情义，然后用物象来表达。在我们的数学课堂里也是一样的，我先有我的情意，我先提出我粗糙的、个性化的解决问题的方案，后来我通过操作、通过画图、通过摆弄，通过多种表征手段来把我的方案讲得让更多人能明白。这个比，在我们日常教学中，显得特别需要。如果我们只是在课堂里，让学生把结论讲一遍，我们自己把结论讲一遍，学生只是认真听讲，或者只是通过我们老师的讲授，对于学生数学理解的获得感并不多。
思考二：如何让学生感受到度量的一致性呢？
具体课堂切片（二）：
师：同学们，你们知道吗？人们将圆平均分成三百六十份，把其中的一个所对的角作为度量角的单位。它的大小就是一度记作1°，角的度量单位是度，用符号°表示。这里的一份儿是一度，这儿也是一度，这个圆里，一共有多少个一度？
生：这个圆里一共有360个一度……
感受相同计量单位的累加过程：
师：这是几度的角？我们找位同学来数一数
生：1、2、3、4、5。这个角里面有5个1°是5°……
师：一小份所对应的角是1°，每一大份所对应的角是10个1°就是10°。
六一老师说要教有过程的数学：有思考的过程，有直面困难的过程，有把困难变成我的方法的过程，有数学知识生长的过程。如何经历呢？看着容易做着难，那就动手操作吧！
这是一个60°的角，里面有6个10°……
这个角是90°，里面有9个10°……
12个10°是120°
是180°里面有18个10°
这个角是270°，里面有27个10°…
这个阶段的教学目的是让学生直观感知和实践中，不断感悟、体会量角器其实就是180个1°角的集合，量角的本质就是用量角器上这一个个的1°角不断累加，这恰巧就是图形的认识与测量一致性的具象化。数出1°角的个数，从而准确描述角的大小。量角实际上就是以1°这样的小角量出其他角的度数，量角就是在数这个角包含几个1°角。
3、比和兴的交织
兴刚好和比反过来，是先有外物的形象，然后引起内心的情意。在我们的数学课堂里面是什么？学生通过不同的表征手段，通过不同的个性化的解法去寻找不同中的共同点。我们的数学课堂可以说是个性化的方式去解读，创造出我想要表达的东西。兴就是我又把各种各样的创造、各种各样的表达，达成一种共识，并把共识纳入到我以前的数学框架之中，或者是扩大我以前的数学框架。
思考三：关于角的度量学生的真实困惑是什么？
学生的真实困惑应该是聚焦在角的度量操作方法背后的道理上：量角的时候，角的顶点为什么不是对准0，而是必须和量角器的中心对齐？
具体教学切片（三）：
师：咱们平时测量长度的尺子启发了我。可以从起点开始标0。
量角器是人们把半圆分成180等份制成的。中间有个交叉点叫做中心点。这左边和右边各有一条0°刻度线。量角器有两圈刻度，内圈刻度从右往左依次是0°到180°，外圈刻度从左往右依次是0°至180°，中间还有一条90°的刻度线。
师：是滴，不论是内圈还是外圈，它们都是从0°刻度线读起。（这是我教孩子们的方法，固然很笨拙，但是这是度量的根本呀。）
所以，使用量角器量角时，角的顶点必须和量角器的中心对齐。只有顶点对准中心才能实现“角角重合”，这样才能准确用量角器中的1°角去数出角的度数。这和之前学习测量线段的道理是一样的。当我们用厘米做单位量线段时，实际上就是用1厘米长的线段去数有几个1厘米；用分米、米做单位就是数几个1分米、几个1米；量面积其实就是数出或算出平面内有几个1平方厘米、几个1平方分米或几个1平方米。后续，研究体积的度量从本质上说也是这样的，计算物体或立体图形的体积其实也就是在计算它有几个体积单位。
（二）让图形的测量一致性在课堂上具象化——画角
教材中是直接呈现画角的三个基本步骤:先画一条射线,使量角器的中心和射线的端点重合,0刻度线和射线重合;再在量角器相应刻度线的地方点一个点;最后以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。在教学中考虑到学生的发展,觉得直接教学生按这些步骤画,学生不明白为什么要这样画,不容易掌握。思量再三觉得还是应该放手让学生尝试画角,在画的过程中慢慢体会画角的步骤。但怎样确保学生在尝试的过程中就能正确画角呢?
思考四：画角时到底该在哪里定点呢？
具体课堂切片（四）：
师：我们已经可以精确的测量一个角的度数，现在我们继续来挑战，依据给出的度数画出相应的角。有位同学这样想，你同意吗？
生1：我不同意，因为先随意画出一个的角，再通过量角确定是不是要求的角；若不是，就继续画，直到画出为止。
生2：我认为这样也可以，但是太麻烦了，要尝试很多次才能成功。
生3：我认为一次就可以准确的画出角。
师：有位同学就跟你想的一样，一次就能准确画出角，他的方法你认同吗？
生4：我认同，先画一个顶点，然后量角器的中心点和角的顶点重合，在0°和40°的位置分别做出标记，最后以顶点为端点，经过两个标记分别画两条射线，形成的图形就是40°的角。
生5：我还有不同的想法，先画出一条射线，然后量角器的中心点与角的顶点重合，射线与0刻度线重合，找到40°做出标记，然后从顶点出发，经过标记画出另一条射线。
生6：先画一条射线，其实也就是先画一个顶点，在0°的位置做个标记，意思相同。
生7：两种方法都可以，不同的是第二种方法先画出角的一条射线，第一种方法是最后再把角的两条射线画出来，都是一次准确的画出40°的角。
师：为什么要先画一条射线？
生8：因为角有1个顶点和两条射线，先确定一条射线，其实就是先确定角的起始边。
师：这条射线该怎么画？
生9：怎样画都可以，没有固定的位置。
师：如何确定度数？
生10：画角的方法其实和量角的度数一样，把这个角可以看作动态角，从0°开始绕着顶点旋转到40°停止，做好标记。
师：为什么要做标记？
生10：量角器只可以看出与40°重合的另一条射线在哪里，如果不做标记，拿开量角器，我们还是没办法确定另一条射线的位置。
所以，从0开始读数的方法，这对量角的学习有直接的促进作用。
从0开始到120是120°；从0开始到120是12个10°就是120°。
（三）教有数学的课程——遵循数学自己的逻辑走向
数学课不要变成语文老师也会教，或者变成科学老师也会教，甚至英语老师
也能走进我们的数学课，拿起我们的数学书就能教。我甚至想说，我们的数学教
学不是仅仅用教育学、心理学这种规律就能够教得了的。因为数学它有本身的特
点，数学有它自己的逻辑走向，数学有它自己的生长轨迹，数学有它数学史上所
经历的艰难，我们是让学生再创造或者再发现前人所经历的困顿，只是前人用了
100 年、10 年，我们用了 10 分钟、20 分钟，但不是把前人十年、百年、千年所获得的过程，把它浓缩为一句话，然后教给学生。所以我们的数学课程赋比兴也罢，三有、三在以及想象的、自由的、审美的也罢，跟刚刚的这样教有过程的数学、教有学生的数学、教有数学的课程，我想要表达的是同一个意思。这也就是我常常在说的“举一反三”。
在教学中，孩子们的问题基本聚焦在：“怎样用量角器量角”“量角器能干什么”“量角器为什么需要两圈刻度”“量角器为什么做出半圆而不是圆”“量角器上有哪些角”“为什么把圆平均分成360份，而不是分成100份、1000份呢”等等。关于角的度量，学生的真实困惑应该是聚焦在角的度量操作方法背后的道理上，如：为什么量角器需要两圈刻度？量角的时候，角的顶点为什么不是对准0，而是必须和量角器的中心对齐？
我试着用数学故事的形式拓展：为什么把圆平均分成360份？
寻找60的特性
“60”有什么特殊？我们来找找60除以哪些整数得到整数商且余数是0。学生试着找出这些数。随后老师介绍：在整数除法中，如果商是整数且余数是0，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。如60÷2=30，我们说60是2和30的倍数，2和30是60的因数。如果学生找齐了，接着数一数60有几个因数。60有12个因数，分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60。
360可被2、3、4、5、6、8、9等数整除，除了1和自己，共有22个真因数。虽然数字100更简单，但它只有2、4、5、10、20、25、50这7个真因数，无法被3、6、9等数整除。例如将100分成三等分，便会得到33.333……这样的结果。
在100以内，一个数最多只有12个因数，60是这样的数。大家看，因为60÷30=2，所以在说时间时，可以说2个30分钟是1小时；60÷20=3，可以说3个20分钟是1小时；60÷15=4，可以说4个一刻钟是1小时；60÷2=30，我们说30个2分钟是1小时。而17不是60的因数，就不能说几个（整数）17分钟是1小时…… 这样一来，因数个数越多，给人们表达时带来的方便更大。
介绍360的特性
圆、周角的度数要尽量做到均分后是整数（也就是说圆周角度数尽量有比较多的因数）。那360有多少个因数呢？通过计算，我们知道360有24个因数，它们是1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180和360。因为360的因数多，就方便了人们的表达。如三角尺上的度数（30°、45°、60°、90°），我们可以说12个30°就是360°，8个45°就是360°等等。
了解60进制
60进制这种计数方式后来被阿拉伯人传到了欧洲，最终成为主流，目前被广泛应用于时间、角度、地理坐标等领域。如现在的一小时有60分钟，一分钟有60秒；圆周角有360度，一度有60角分，一角分等于60角秒。这些都是以60进制为基础的计量单位。
圆周角之所以是360度而不是60度，很有可能是因为古人发现一个圆内恰好可以放下6个以这个圆的半径为边长的等边三角形，如果一个等边三角形的内角定为60，那么6个正好是360。所以，人们在设定度量单位时，要遵循统一又便捷的原则。把360°确定为圆周角的度数，把圆周角平均分成360份，将其中 1 份作为度量角的单位，既统一了角的度量单位，又给人们带来便捷。
【反思后记】
图形的测量不单单有着我们对相同计量单位累加。测量的一致性他也有研究方法的一致性。它的本质就是相同计量单位的哪家，这个的单位可以从一维的长度单位，二维的面积单位，再到三维的体积单位。这样短短的几句话呢，就让我拨云见日，有一种茅塞顿开的感觉，所以今天的作业呢，去尝试着在自己的课堂上。有了这样的观念之后的一点点尝试，当然，还有很多不足和不到位的地方，继续努力。六一老师说一致性不一定是外显的，有时候它也是内隐性的。我们不需要把它非要通过课堂上的具体实例让孩子直观的表达出来，表征出来。有的时候，可能就是我们经过了具体的了解感知之后，让孩子们在头脑中有这样的一个知识结构框架，让他们明白理解，我们在研究一维、二维，甚至将来的三维图形中，都可以用到这样的一种数相同计量单位的过程，这就是我理解的图形测量的一致性。
数学课堂上，我们老师要做的就是不断唤醒学生的数学经验，不断让学生提出他自己粗糙的、暂时性的想法，然后我们不断去修正、提炼、凝炼、更改错误，进而发现惊奇，达成暂时性的共识，慢慢走向更加严密、更加精确的一些概念定义。
6180字
2024年10月17日
