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直觉与联想对学习和研究数学的作用

徐利治

“对待数学必须重视逻辑推理的严谨性，需要掌握演绎论证的技巧。” 这些都是数学教师经常告诚学生的有益教诲。现代心理学家常把理性的逻辑思维叫作收敛思维，而把感性的、直观的想象、联想、猜想等思维运动形式称为发散思维。这里，我想专门讨论属于发散思维范畴的直觉与联想在数学思维过程中的积极作用，并将举例介绍自己的点滴经验，以供青年同志们参考，并希读者批评指正。

我在大学读书时，在两位数学老师的启发下，使我逐渐缣得直觉能力（又称直观力）在理解数学和进行创造性思考中的重要性，并且领会到这种能力是可以在学习的过程中逐步成长起来的。我们学习数学理论、方法或数学定理时，怎样才算真正弄懂了呢？事实上，只有做到了直观上懂才算“真懂”。所谓“真懂"的意思是指：对数学的理论、方法或定理能洞察其直观背景，并且看清楚它是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的。

如此说来，为了达到 “真懂” 或 “彻悟” 的境界，就不能只停留在弄清楚演绎论证的步骤里，而必须重视具体特例的分析，必须注意直观背景素材的综合，也即必须通过人脑的联想力和概括思维能力从具体素材中领悟出最基本、最本质、最一般性的东西。达到了这个境界，数学上的理论、方法或定理就好象是您自己发现的一样，您就能用自己的语言随时把它复述出来，当然也就成为您终生不忘的知识了。

如果一位数学教师，只是给学生们讲清楚一些数学定理的形式演绎论证步骤，不指出那些定理的直观背景和整个来龙去脉，那就好比带领一个人进入森林中只看到了一些个别树木，但对整片森林的形貌还是一无所知，这就所谓“见树不见林”。优秀的数学教师无疑都会使学生 “既见树、又见林”。但要做到这一点也不是容易的事，教师本身首先要对数学教材作一番整体性的分析概括，使教材内容成为他自己脑海中非常直观浅显的东西。这样才可能使学生也感到所学的知识是比较直观的，是完全符合他们的认识过程的。

记得四十年前西南联大时代的老师华罗庚先生曾不止一次地对我们讲过他的读书经验，他说 “读一本数学书，应该把它读得越读越薄。” 怎样变薄呢？其实，就是要把书中的知识经过彻底消化，变为非常直观的非常概括的材料，最后就只留下最精髓的那一点，当然书就变薄了。

二

“数学的直觉” 是有丰富的含义的，南京大学哲学系教师郑毓信同志曾对此作了分析讨论（见1983年《哲学研究》杂志）。大家知道，近代数学基础问题研究领域中有一个 “直觉主义流派”。他们的观点是十分偏激的，但在西方数学界却有一定的影响。在这里，我并不想分析评述这一流派的思想方法和观点。现在我想讨论的是另一个问题，即一般数学界较为赞遍认可的 “数学直觉” 的内容含义。

我在青年时代曾经读过法国数学家庞卡莱（Poincare）《论数学的创造》一文，后米还阅读了阿达玛（Hadamard）著述的《数学领域的发明心理学》一书，感到很受启发。“尽信书不如无书”，当然我们不可能完全同意书中的一切观点。但是，这两位杰出的数学家以他们自己的经验所阐发的某些心智活动规律，已经成为现代 “创造学” 研究工作者，特别是一些心理学家分析探讨的课题。

毫无疑向，如能根据辩证唯物主义的反映论观点去研究评析庞卡莱-阿达玛的数学创造学说，那将是很有意义的工作。

按照庞卡莱、阿达玛的见解，数学上的创造发明同自然科学领域中的发明创造一样，无非是 “选择” 而已。这就是说，无非是选择最有用的 “观念组合”，以产生新思想、新概念、新发明。那么凭什么能作出观念组合的最佳选择呢？他们认为选择能力的基础就是 “数学直觉”，而数学直觉的本质就是某种 “美的意识” 或 “美感”。这样说来，似乎就有点令人感到奇妙而难以捉摸了。

其实，通俗点讲，“数学直觉” 应包括人脑认识反映过程中的 “美的直觉”、“真伪的直觉” 和 “关系的直觉” 等几个方面。因为一切事物（包括作为数学概念背景的事物或对象）都是处在对立统一和普遍联系的关系之中，所以在它们之间会呈现出某种对称性、协调性、统一性和简洁性，这些便构成美的直觉内容。凡是学得的数学知识越多，便越会增强 “数学美” 的直觉意识。正是这种意识能帮助人们去选取数学观念间的最佳组合，从而形成新的数学思想或概念，新思想、新概念经常以 “顿悟” 的形式出现，“顿悟” 实际就是认识过程的飞跃。

许多有经验的数学工作者，在探索数学真理的过程中，常常会作出这样或那样的近乎正确的数学猜想。实际上很多数学定理最初都是猜出来的，而证明不过是后来补行的手续。猜想正是人们借助于 “真伪的直觉” 所表现的思维形式。这种思维形式对推动科学进步是很起作用的，我们从事数学工作的人也往往是离不开这种思维形式的。

在数学领域里，“关系的直觉” 内容也很丰富，例如关于“序” 的直觉、“相似性” 与 “相关性” 的直觉、对应关系的直觉、连续性的直觉，以及空间的对称性直觉等都属于这一范畴。我们从事数学研究时，常常凭借这种直觉产生类比联想，把一些表面上似乎无关的对象纳入到同一个更高层次的理论框架中去。只要瞧一瞧现代各门高度发展了的数学理论结构体系的丰富概括性，就可以意识到人脑思维的 “关系直觉” 在现代数学结构体系的发展中起了多么重要的作用！

所有上述各种直觉，当然不是天赋的，一个人从童年时期学习算术起，就开始逐步发展上述各种直觉能力，事实上，一切直觉能力都是通过实践成长起来的。

三

直觉能力和抽象思维能力是相辅相成的。如果没有任何直觉作基础，则数学的抽象思维是根本不能进行的。大家知道，十九世纪德国的分析数学大师维尔斯特拉斯（Weierstrass）是一位十分严谨的数学家，他曾经令人借服地作出了一个 “处处连续处处不可微” 的著名的函数例子。这个函数的直观含义是，它在每个无限小邻域内都有无限小振幅的振荡。当然这可以凭借极限手续来作出。后来，代数学家梵德尔。瓦屯（Wander Waerden）根据同样思想千脆利用折线函数的无限叠加来作出具有同样性质的函数。试想，假如上述两位数学家缺乏生动的直观能力，那又怎能构造出上述例子呢？

从感性到理性，从生动的直观到抽象思维，这是任何一位数学工作者都必须遵循的认识规律。数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象理性思维，对数学对象的本质有所河察，有所概括，这样就形成了更高层次的数学直觉，从而又可进行更高层次的创造性思维活动。直觉与联想这两种思维运动形式也是互为因果的。前者促进后者的展开，而后者又反过来充实并发展前者的内容。所以对于一个学习或研究数学的人说来，为了开发智力，必须同时注意培养直觉与联想两种能力。怎样培养呢？我想，首先要注意培养较广泛的兴趣，要博览群书，好学深思，要提倡多想问题，甚至不限于思考数学领域的内部问题。从数学史上我们看到许多作出大贡献的数学家往往不是专攻数学一科的学者。他们往往怀有广泛的兴趣去研究其他有关应用部门的种种问题，以及和生产实践相联系的问题，因此他们的联想特别丰富，数学直觉能力也特别强，而作出的创造发明也最多。

我国宋代爱国诗人陆游曾谈到学习作诗的经验，他说过，“纸上得来终觉浅”，“功夫全在诗之外”。其实，对从事数学工作的人来说道理也是一样的，必须注重实践，联系实际，要经常动手去解决问题，才能把数学工具掌握到手，并能有所创造。不能只把自己的视野总是局限于一个科目或一个分支，否则由于联想范围的狭窄就很难作出有意义的贡献来。一位英国科学家曾说过，一个人如果长期钻研一个问题，就容易使自己的思想枯涩起来，当然不可能发展创造能力。特别是，曾经谈到：“成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神可能来自他们的博学。” 我想，这句话是很有道理的。

四

这里我想谈一点亲身经验，说一说直觉与联想是如何在我的一项工作中起到推进作用的。我在青年时代跟华罗庚教授学习数论时，曾听说他去重庆时破译了当年侵华日军军事密码中利用麦比乌斯（Mobius）反演公式一事。这就引起我对上述反演公式的兴趣。1964年我又闻知美国的组合学家罗塔（Rota）对上述反演公式作了高度的抽象概括，使其成为组合学中的重要工具。接着1967年我曾利用互反 μ 函数概念把 麦比乌斯-罗塔的公式进行拓广并作了种种应用。但上述拓广毕竞是十分平凡的，并无实质性的发展。

1980年后我开始思索一个更基本的问题：离散数学中的反演公式是否可以和分析数学中的著名反演公式-如牛顿、莱布尼兹积分学基本定理等获得某种统一呢？这就涉及到离散数学与连续数学两类不同结构的沟通问题。开始我并没有找到这种沟通的桥梁。但借助于关系直觉使我仿佛模糊地意识到 A.鲁宾生的 “非标准分析” 方法有成为桥梁的可能。这个联想是怎样形成的呢？因为注意到非标准微积分学中，定积分可以作为精细分划点列上的离散形式的总和的标准部分，这就是说，定积分对应的和式在非标准数域上具有离散化的形式。这就使我直观地猜想到离散型的广义麦比乌斯反演公式有可能推广到非标准数城上去。接着我就逻辑地验证这个想法，果然达到了目标，得到了一条普遍的反演定理。它把组合学中的反演公式和卷积方程论中的一些反演定理（包括微积分基本定理）都作为特例概括进去了。我想这个工作的意义并不在于拓广本身，而主要在于表明，离散数学与连续数学的特定部分是能够实现沟通的。同时还表明 “非标准分析” 方法确实能起到一般标准分析学所不能起到的作用（上述初步结果已发表于1983年《科学探索》3卷1期上）。由上所述，可见学习上的 “不保守” 或许也是一点值得介绍的经验。事实上，假如在七十年代我采取了象国外有些分析学家瞧不起 “非标准分析” 的态度，或者干脆轻率地认为那不过是 “标准分析” 的等价物而已，那么我就不会虚心地去学习非标准分析，也就不会有机会使自已的想象力伸入新的领域，当然更不可能发现离散数学与连续数学中两类重要的反演关系能够统一起来。

我搞了四十年的数学工作，深深感到学习和研究教学是互相促进的。学习数学知识必须重视生动的直观背景并采取分析研究态度，才能学得透、学得活。另一方面，研究工作过程中又必须随时学习新知识新工具，这样才能开阔视野，扩大联想领域，获取新的成果。

数学上的创新和发明决不是神秘莫测的事情，只要坚持辩证唯物主义的反映论观点，就不难发现客观规律。只要很好地运用这些规律，人人都能进行创造发明活动。本文讨论的数学直觉与联想不过是数学发明创造心智过程中的两个环节而已。这些涉及 “微观数学方法论” 的问题，在最近出版的拙著《数学方法论选讲》（1983年华中工学院出版社出版）一书的第1讲与第10讲中已作了较多的论述，这里就不多说了。