接着前一篇:数学思想方法揭秘-3-2(原创)继续讲解。回前言。
作者：王国波
声明：下面这些题的解题过程是亲自做的，没有看标准答案或解题方法，很多没有答案，所以此处不保证解题的正确性和简单性。
本篇虽然利用小学题来讲数学思想方法，但对有兴趣培养数学思维能力的初高中学生也不能跳过，一定要看。
也别轻视小学题，下面的前几道小学数学题，如果先前没碰到过，很多受过高等教育的人还真难以自己做出来，名牌大学博士教授也是束手无策，因为我们的数学教育导致大多数人掌握了一堆数学知识，但并没掌握好数学思想方法，没悟道数学思维，即便高学历也是这样，虽然他们掌握的知识多，但数学思想方法思维技能和数学知识是两码事。
小学题
第1题
如下图，长方体长宽高之比为4:3:2，切长方体的平面六边形有很多个。六边形顶点A1在边AG上，A2在边AD上，这些六边形中周长最小的为36，其他如图。求长方体表面积。
思维过程
当时碰到这题感觉棘手，无从下手，这题型小时候似乎没见过。首先要观察题目，理解题意。周长是六条边之和，这六条边是直角三角形的斜边，勾股定理，周长就是六个根号式（两个直角边平方和再开方）相加，其最小值为36，根据这些条件列方程，显然很麻烦，很快意识到这种方法不可行。
在解题时，如果经过仔细观察，努力探索一番之后，仍感觉自己的方法很繁琐或不靠谱，应该要意识到方法可能有问题，或有更简便更巧妙的方法存在，接下来通常应该进行反思，不要陷在里面出不来，要调整解题思路，要打破思维定势，这是一个解题经验。
除非是偏题怪题，小初高的大多数数学压轴题或难题通常是考察学生综合运用知识的能力，通常要能体现数学之美，体现思维之美，体现大道至简，因为命题人的良苦用心就是用这样的题来刻意锻炼和考察学生的数学思维能力，综合运用、灵活运用知识的能力，在考察中让学生体验到思考的艺术，体验领悟到思维之美，思想方法和解题技巧之美。先前说过，我们在现实中却阉割了，忽略忽视了这种体验思维之美、思想精妙的过程，舍本逐末，也是对命题人的不尊重，怎能不扼腕叹息。如果觉得解题繁琐不靠谱，那就很可能说明解题思路有问题，思想方法没用好，不对症不对路。
思路受阻，继续思考，换一种思路。周长最小，联想起多年前读书见过的两道题，第一道题问了家里小孩，他说叫将军饮马。第二道题暂且叫壁虎爬墙：壁虎要从一面墙上的A点爬到另一面墙上的B点，求最短路线。
将军饮马是运用对称将题目转化，将不熟悉或不好处理的问题(受约束的两点之间距离最短问题，为何叫受约束，因为要求中间必须经过河流，这是个必须要满足的限制条件，它相比普通的两点之间距离最短问题是强条件的、有约束的)转化成熟悉或好处理的问题(普通的两点之间距离最短问题，相对来说是无约束的，弱条件的)，两点之间最短的线是直线。通过抽象概括，给这个将军饮马问题在数学上取个名字，称为受约束的两点最短距离问题，取名字就是下定义，定义一个概念。数学上取名字有讲究的，简练又要能概括反应问题本质，定义好的名字就能帮助我们思考，名字中承载了信息和属性，例如我们能从这个名字中的‘’受约束‘’联想到不受约束，进而联想到普通的两点之间最短距离问题。这个也能体会到抽象概括出概念的好处。
壁虎爬墙是把一面墙翻转到和另一面墙在同一个平面上,将三维问题转化成二维平面问题，最后也是利用两点之间直线最短来解决问题。
先前也看到小孩学校作业有将长方体展开成平面的题。所以综合这些，联想到将长方体展开成二维平面后，应该也会类似利用两点之间直线最短来解决问题。这里的展开就类似将军饮马中的对称和壁虎爬墙中的翻转，可以做如此类比，它们都是实现转化的具体手段，可见这题和将军饮马、壁虎爬墙都运用了转化这种思想方法，但实现转化的底层具体手段不同，将军饮马的具体实现手段是对称，这题是展开，将三维问题转化成二维。我们在讲解将军饮马这个题时，应告诉学生使用对称的目的是为了转化问题，给他们讲解‘’转化(化归)‘’这种高层思想方法的意义内涵、外延等，让他们知其然也知其所以然，这样在碰到当前这个问题时就可能会想到用转化，否则很可能会想到使用对称，这题用对称是不靠谱的。
将军饮马和这题的联想、类比，以及它们之间的对应关系如下图。
可见层次越高，越稳定，层次越低，变数越大。
将长方体围绕矩形CDHE展开，其他5个面最终和CDHE在同一平面上。把长方体当成一个纸盒子，大脑中想象沿棱CB、BA、AG、GH、HE、FE剪开，之后进行翻转展开，例如把BCEF绕棱CE向外侧向下翻转到和CDHE共面，接下来把ABFG绕棱BF继续翻转到和CDHE共面。先在纸上画出矩形CDHE，眼睛要盯着题目原图，在脑中想象展开过程，同时用笔将大脑中的展开结果一步步画在纸上，展开时要注意长方体中的一些拓扑关系在二维展开图中是不变的，在展开的平面图中把六边形的六个顶点A1~A6画在对应的边上，连成6条线段。
三维立体图形的展开，如果单纯靠空间想象能力，展开过程比较困难且容易出错，也比较缓慢。如果眼睛盯着原图长方体看，结合拓扑的不变性，就可以较快画出正确的展开图。
最终的展开图如下图，图中A1到A1'两点之间的6条线段(A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6、A6A1')加起来就是六边形的周长。在不同的位置切，产生的A1A1'线段是平行的，任意两条A1A1'都构成平行四边形，也就是所有的A1A1'长度相等(图中只有一条A1A1'线段，可以自己再画一条验证下)。因此这6个点在同一条直线上时，就是周长最短的情况，观察图形，可发现A1A1'N是等腰直角三角形，A1N=A1'N ，因为A1和A1'在长方体中本来就是同一个点，只是展开后，A1变成了两个点，因为重名在解题时不便于描述，将其中一个点改名为A1',因此它们到N的线段长度相等是有根据的，另外展开图中A1A=A1'A=NM也好理解，也是因为A1和A1'是长方体中的同一个点，由A1A=A1'A=NM也能推出A1N=A1'N。
前面说过辩证法中的普遍联系观和数学中研究数量关系。上图中的A1N=A1'N表达了A1N和A1'N之间相等的数量关系；A1N=3a+4a+2a=9a也是表达数量关系；题中使用的勾股定理，描述了直角边和斜边之间的关系。关系在数学中几乎是无处不在。
这题中我们并不需要把a是多少和长宽高是多少算出来，题目的目标是求表面积，没有说要求a或计算长宽高，可能有的题在计算过程中要计算出长宽高才能得出表面积，但这题并不需要这样，最多只要算出a的平方即可得出我们的答案，没必要浪费时间算出a的值。我们要始终关注真正的目标是什么，这样才能少走弯路，这个也是在解题中要注意的地方。设而不求，设了未知数但并不把它求出来，因为没必要求出来，这个也是一个解题技巧。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。运用正确的数学思想方法指导思维，就靠这点思想火花，就能扭转形势，指引我们探索出解题方法，找到解题突破口。
总结反思：使用到联想、类比思想方法，思路受阻时要及时反思灵活调整变化思路，换一换思路，不要一条死路走到底。
联想，从题目中的周长最小，联想到将军饮马和壁虎爬墙问题，这两题中都有长度最小，这是基于相同点相似点的联想或者说类比。进而再类比将军饮马和壁虎爬墙中的转化思想，三维立体向二维平面转化(复杂转简单，通常是三维复杂，二维简单，有时不是这样，反而二维复杂，三维简单，思考下有哪些是这样。所以要讲辩证，要灵活，具体问题具体分析，要看情况看条件，不能机械僵化地认为三维一定比二维复杂)，具体如何在这题中进行转化，要联想到学过的见过的长方体展开来实现三维到二维的转化。数学思想方法的运用不神秘，例如联想类比，有时就是根据题中的一些蛛丝马迹来进行联想类比，基于不起眼的一句话、一些单词词语、一些相同点或共性、一些不同点、一些概念定义(例如三角形)、一些性质、一些属性、特性、特征特点、关系、一些规律、或要解决的题想到类似的题、基于题中的一些数学对象(元素)的特征性质。
这题通过联想类比和转化，我们找到了解题突破口和解题思路：合理猜想，合理猜测，合理推理，将长方体展开，可能会用到两点之间直线最短来解决问题。试着展开后，进一步发现确实如此，验证了解题突破口和思路是对的。我当时做完这题，自己都为我自己的思想点赞了陶醉了，数学思想方法真神真有用！真的！也为这个命题人点赞，太高了，咋想到出这样的题，出这样的题比做题难，有时提问题比解决问题难，确实！于我心有戚戚焉！
从该题中可以看到，思想决定了行动，我们的思维在数学思想方法(此题中是联想、类比)的指导下，较快地找到了，探索到了解题突破口和解题思路：把长方体展开，这就是解题操作，这就是解题行动。展开在这题中是最难以想到的关键的解题操作，没有数学思想方法做指导，一般人很难想到，但如果掌握好了数学思想方法，这个展开操作很可能是可以推理出来可以较快猜测出来的，不是什么神来之笔，不是少数人才能掌握的艺术，而是多数智力正常的人可以掌握的技术，或者说我们通过运用数学思想方法和解题策略，把有挑战性、创造性的、靠灵感的含有艺术成份的事情，变成了较形式化、公式化的技术成份的事情，变成了有套路、有模式的事情，从而减低了对人的要求，普罗大众都可以掌握了，不过数学思维的艺术性也始终是存在的，只是多少而已。
当然经验和知识点也很重要，巧妇难为无米之炊，知识点是食材，必不可少。我们先前做过将军饮马、壁虎爬墙这些题，学过两点之间直线最短、长方体的展开这些知识点，如果没有这些经验和知识点，光靠数学思想方法来空想也很难做出这道题。但这些经验和知识点都是靠联想、类比这些数学思想来把它们从大脑中唤醒，先前它们是在大脑的知识库中沉睡的，没有联想、类比作为主人来召唤指挥它们驱动&运用它们&协调组织它们，它们是不会主动&有序发挥作用干活的。此外，对勾股定理这个知识点，在展开之前，对六边形的六条边使用勾股定理是没效果的，是错误的用法错误的解题操作，展开后在三角形A1A1'N上运用勾股定理才是正确的有效果的，前面也说过知识点是被动的死的没生命力的，要靠思想方法指导下的高效思维活动来盘活它们，来指挥它们做正确的事情。
其他反思：这题能体会到放与缩、强条件(加强)和弱条件(减弱)、一般和特殊(两点之间最短距离问题是一般，受约束的是特殊)的辩证关系和相互转化思想。
这题属于最值问题，对学有余力的学生，可以给他们讲讲光的反射和折射走的是时间最短的路线而不是路程最短，可以拿将军饮马问题和光的反射进行类比，”胡不归”问题可以和光的折射进行类比，进一步可以讲解物理学中的最小作用量原理。
命题人思维
基于同理心，站在命题人的角度揣摩命题人的心理、他们的意图目的、所思所想、玩的什么手腕、想考什么、什么出题背景。
解题和出题也是一对矛盾，它们对立又统一。这里探讨下命题人如何出数学题，有些肤浅的初步体会。和数学解题一样，命题人要出题，也要进行变化，也要运用数学思想方法、解题策略和辩证法来指导进行变化。具体怎么变的方法应该有多种：一些题是综合多个知识点中的数学概念、公式、定理来产生、一些题来自于现实中具体问题的抽象提炼和变形、一些基于旧题加入一些变化，增加复杂度来绕弯子，增加难度。如何变化，可能会运用矛盾辩证双方的相互转化、数学思想方法(联想、类比、转化、逆向思维、数形结合等)、关系思想，各种有联系的双方来进行变化。
将军饮马问题和壁虎爬墙的命题人，我猜测是运用了矛盾辩证中的相互联系相互转化，具体到将军饮马就是运用一般和特殊的相互转化，把弱条件问题(约束少)转成强条件(约束多)问题，把普通的一般的两点之间最短距离问题变成这个特殊的题(将军饮马)。而我们做将军饮马问题时，要反其道而行来返本归元来溯源，要反过来想办法找到解题突破口，逆向思维，想具体办法来从特殊转化到一般，强条件转化到弱条件，或从一般中获取经验启发再移植运用到或对应到特殊问题中。
利用数形结合思想，如果命题人是运用‘’形转成数‘’来出题，解题人就要数转成形来进行解题。利用抽象到具体来出题或具体到抽象也类似。
有些题，命题人将数学对象之间的关系和特点、规律通过一定的手法来隐藏或弱化或在物理或逻辑距离上分离，让题目在表象上复杂化或造成干扰误导让你上当。此时我们在解题时就要反过来，就是要善于观察出本质，观察出蛛丝马迹，要见微知著顺藤摸瓜，要综合运用数学思想方法来让隐藏的题目规律、关系、特点由隐到显，让它们凸显现形。
将军饮马可能来自现实生活，这里只是用它来举例子说明如何出题。壁虎爬墙的命题人可能是基于将军饮马(此时它就是旧题原题)通过联想类比进行变化再结合现实想出来改编出来的。
利用等式和公式的变形，例如1/a - 1/b = (b-a)/ab来出题，估计考小学生的分数裂项题就是这样来的：1/2*3 + 1/3*4+1/4*5+...+1/99*100，要分数裂项。看到这题，肯定不是蛮干，可能有简便方法，先整体观察这个式子，发现它的特点规律，再看1/2*3或把这些抽象成1/n*(n+1)，分母是n*(n+1)，要识别出这是分数(分母为相邻的自然数相乘)。如果眼拙不敏锐识别不出，一个诀窍是尝试给这个1/2*3或1/n*(n+1)取个数学意义上的名字，也就是抽象概括，就知道它们是分数了，当然这个1/n*(n+1)还谈不上抽象概括，我们只要根据它的特征，联想到意识到它是分数就是识别出它来了。基于分数这个概念，在脑子中搜索学过的一些关于分数的知识点，就可能联想到学过的分数相加减的通分规则(通过联想来做桥梁，来穿针引线，想到分数相加减的规则或相加减的公式这个知识点。联想的对象有很多，不只是联想到知识点，可以联想到问题，联想到其它，例如由甲概念联想到乙概念)，反过来想到这些1/n*(n+1)是怎么来的怎么产生的，猜测它的初步来源可能是这种形式：一个分母为n的数减去一个分母为n+1的数，分子暂时不知道不要紧，先知道大致大体的形式模式，后面一步步来确定就行。当然可排除一个分母为n的数加一个分母n+1的形式，因为这样解决不了问题，批判性地排除否定这种形式。广义来说就是基于A与B的可相互转化的关系思想相互联系的思想来出题，出题时基于A到B，题目形式是B，B比A难，就像爬坡比下坡费力，正和反的难度不一样不对称；解题时要由B想到A。要有联想类比等能力，逆向思维的能力，要理解数学思想方法和关系思想、辩证法包括矛盾观中的一些具体的实例(抽象与具体、一般与特殊)在出题中的灵活运用。
碰到1/n*(n+1)*(n+2)这样类似的一串式子相加，如果做过1/n*(n+1)相加的题，就要想法把前者(不熟悉/复杂/没经验)转化成后者(熟悉/简单/有经验)来解题，后面再结合分类/分组思想方法。再次强调‘’转化‘’是个极其重要的数学思想方法，当然其他数学思想方法也重要，例如抽象、联想、类比、数形结合等。
解铃还须系铃人，有时解题时要和命题人有同理心，这也是一个解题经验。基于题目特点和性质，按照上面介绍的出题方法来揣摩、猜测、推测、设想命题人是怎么出题的，他可能运用了哪些数学思想方法和解题策略，原题可能是啥，他想考的是啥。说不定就和他们有共鸣有心灵感应了，就是他肚子中的虫虫一个鼻孔出气了，就看穿他们的出题伎俩和花招了，此时你就是系铃人，当然就会解铃了。要有慧眼善于观察，善于总结分析，要用数学思想方法、解题策略、辩证法来武装头脑来和命题人斗智斗勇，也可以自己出题来找感觉玩一下。
第2题
思维过程
原题5行5色,好像数字很小，但要得出m似乎不容易,一下子感觉没看穿问题，说明5这个数太大，复杂。这题也是具体中的复杂性,高不成低不就的。向上抽象似乎也比较难,没有理性认识,也没获得感性认识。
那就向下归纳简化，用几个具体简单的情况来获得感性认识，得到经验启发。
归纳简化时注意别失真，所以用1行1色，2行2色，3行3色来作为简单情况。
在草稿纸上画一画这几种简单情况的满足约束的涂色方案，仔细观察图形特征，仔细研究对应的m值的数值特征，能发现和归纳总结出啥规律或结论? 这里留给有兴趣的去归纳。
我在草稿纸上画了几种简单的，也归纳出了答案。列是对称的，也就是平等的，调整列的位置不影响问题答案。所以我把草稿纸中涂色方案的列做了有序化的调整：调换列的位置，把第一行中相同颜色的列放在一起，也就是每列按第一行颜色分类/分组放在一起，照这样的方式，再按第二行颜色继续进行调整，如有第三列，类似。看着草稿纸上的调整过后的涂色方案，有了些感觉和感性认识，哦，恍然大悟豁然开朗，原来出题人玩的是这伎俩，突然明白就是计数中的乘法原理的展开图，也就是有了从感性认识到理性认识质的飞跃，量变到质变的层次上的飞跃。计数乘法原理现在的小学数学培训班是学过的。
根据归纳/简化得到这题其实就是计数中的乘法原理，把这个应用到原题上，5行就是5步，每一步都可以涂5种颜色，也就是每一步有5种选择，所以是5个(对应5步)5(对应每步5种选择)相乘为3125，所以m最大为3125。如果把这题进行一般化推广，n行n色，m就是n的n次方。
总结：归纳简化、对称、分类、秩序(排序、有序化)、联想。碰到难题，不要坐在那不动，要用联想类比等数学思想方法驱动/指导自己的思维，思维再驱动自己的行为：动手和动脑筋。要在草稿纸上试着画一画做一做，看着/观察草稿纸上的解题过程和答案，结合联想类比等这些数学思想方法，可能会获得感性认识和启发，也可能会获得理性认识，看穿看透问题本质。
第3题
计算题，提示下，可以用蛮力，但最佳方法肯定不是用蛮力硬算，肯定有简便巧妙的方法.
思维过程
显然这题如果直接算，感觉计算量大，用蛮力硬算就上当了，费时费力。大道至简，要相信思想之美方法之美，应该有简便方法巧妙方法。
这题虽然全是具体数字，但题目中的数字大(2016、2017、2019)，加上有分数，直接硬算显然不是出题人的本意。对这种具体却不简单也就是具体但比较复杂的题，前面提到过通常使用两种处理手法，第一种是在保证问题质的不变性的前提下，将问题向下归纳简化(复杂变简单，简单变更简单，具体变更具体)，用归纳法简化，试算几个具体但更简单的题，利用具体情况的简单性，如下图。从中找规律找经验，再回到原题上，利用前面找到的经验和规律来解决原题。这题如下图，通过归纳，可猜想推测出原题答案是1。这种归纳法不严谨，没有考虑所有情况，归纳出的结论或启发、经验、规律可能是错误的，或不适用于原题。数学归纳法和演绎推理才是严谨的，但这题是填空题，所以可以直接写出答案1。这种方法就是运用归纳法，归纳法其实是利用了具体问题的简单性，从特殊性到一般性的推理。
第二种是直接向上抽象，抽象就是抽取问题的本质，去伪存真，去粗取精，去掉一些和问题无关的因素和关系不大的次要因素，也就是过滤屏蔽掉’噪音’或降噪或过滤/规避了具体中的假象复杂性，这些噪音和偶发复杂性其实是干扰我们正确思维的东西，如果被它们吸引，它会误导干扰我们的思维，把我们带偏带到坑里去，走上歧路，浪费我们的精力，这题中几个具体数字(2016,2017,2019)的加减乘除运算就是假象复杂性和噪音。抽象就起到降噪的作用，简化的作用和规避具体情况中的偶发复杂性的作用，让我们直接针对问题本质去解决问题。通过抽象建立问题模型，围绕抽象的问题本质模型去解决问题，得到解决方案或规律，再把这个解决方案或规律运用到原题上。这题的其中一种抽象形式(模型)/一般形式如下图。
从上面的描述中可看出，归纳是一种简化，抽象也是一种简化。这题中应用抽象这种思想方法，主要是规避了具体问题中的偶发复杂性，利用了抽象情况中的简单性的一面。
我们平时都是凭感性，习惯计算具体数字的加减乘除和各种运算，厌恶抽象。如果你有这种思维定势，那对这道题，你很可能会按惯性去计算2017、2016、2019这些具体数字的加减乘除，计算这些工作量大啊，又没有简便运算，那就被噪声或具体情况的复杂性误导，带到坑里去了，或者说这些具体的特殊的数字反而掩盖/淹没了这道题的本质，导致看不清问题的本质，容易走歧路。但如果进行抽象，进行一般化处理，此时就自然而然过滤掉了这些噪声，避开了具体情况的复杂性，利用抽象情况的简单性、简洁性和普适性，这样反而容易看清问题本质，也就是把问题从具体转化为提炼为抽象之后，问题反而变简单了。看下面的图好好体会抽象对噪声的自动过滤作用和规避具体情况的复杂性，抽象一出来，整个世界清静了，噪声何在？复杂性何在？不畏浮云遮望眼，灵活运用数学思想方法，就有慧眼，就能拨云见日，好好体会具体（这题中的2016,2017,2019）的复杂性和抽象的简单简洁性。
这个抽象问题/模型的答案/解决方案如上图，是常量1，所以原题(n=2017)答案是1。
总结：这题是一题多解，分别运用了归纳法和抽象两种数学思想方法，当然要观察发现/总结规律发现特征，绝大多数数学题少不了观察，观察能力很重要。
第4题
100可拆分成多个正整数之和，有多种拆法，例如可拆为100个1相加或一个100或2+98或2+2+96或3+4+93等，每种拆法对应的乘积分别为1、100、2*98、2*2*96、3*4*93。求这些乘积中的最大值。
思维过程
100是先前说的高不成低不就的情况，两种处理手法或综合运用两种手法。
第一种，向下简化，试一下1、2、3、4、5、6、7、8等几种简单的情况，归纳出规律，再回到原题100上。这个留给有兴趣的人试下。
第二种，向上抽象，就是一个正整数m，拆成一个或多个正整数之和，求这些正整数乘积中的最大值。继续抽象，翻译成/表示成/表达成数学语言，就是a1+a2+a3+…+an=m，n为正整数，可为1~m。a1~an为正整数，求a1*a2*…*an的最大值。
从第一种方法中的归纳简化中可以知道，5、6、7这些数拆分后的乘积最大值是大于这些数的，例如5拆分为2和3，乘积为6，6大于5，根据这些经验和启发，类似地，a1~an也可能可以继续拆分。如何来进行拆分？其实这种题的关键处理手法是局部调整思想。在碰到多变量问题或做实验时涉及多个维度的影响因素时，一种策略是固定大多数变量或因素，只让少数变量或因素进行变化来进行研究或实验，这个就是局部调整。让多个变量同时变化，搅和在一起不好评估分辨每个变量的影响效果，容易混淆其作用。日常生活中，我们排队也是两两交换位置，经过多轮这样的两两交换，一步步来重复进行，最后就按顺序排好队了。每次局部调整后,评估其效果都是正向的优化的(其实我们是事先得出正向优化效果的充分条件，按这条件来进行调整，所以调整后肯定是正向的),趋向最终目标的,向最终目标逼近的。我们在日常生活中，很多事情也不是一步就到位的，对复杂的事情或难以一次解决的事情也是分步来做，饭是一口一口吃，不积跬步无以至千里，再比如小孩子玩魔方，也是一步步变换调整最后才成功，这个也是阶段思想的体现。
在满足a1+a2+a3+…+an=m这个约束的情况下,我们固定a1~an中的n-1个变量,也就是让其中的n-1个数的大小不变，只拿出1个变量来进行调整(拆分)。拿哪个?这问题中乘积最大值按乘法交换律,a1~an相互之间地位是平等的,没有谁比其它特殊,将它们任意两个互换对题目没有影响，也就是它们是对称的,这个是对称思想(广义)。广义的对称就是地位平等或作用相等，可替换可交换,例如小学的知识点加法变乘法,就是因为几个加数相同,这些加数对结果来说其地位和作用(贡献)是平等的，也就是它们对和是对称的。狭义的对称即轴对称，中心对称这些几何对称。既然是对称的，那就拿a1来开刀研究，研究出来的结论也适用其余变量(a2~an)，因此a2~an不需要再去研究，可见运用对称性极大地减少了工作量。
如何调整?就是把a1拆分下,拆分成两个数相加，再评估其变化后的效果,也就是乘积是否变大。联想到学过的两个正数的和一定，当它们最接近时其乘积才最大,这个也很好证明,略去，另外我们也可归纳得出该结论。最接近,对正整数来说,它们最接近有可能是相等,有可能是相差1,要看和是偶数还是奇数。
当a1是偶数时,拆成两个相等的数a1/2。这两个数的乘积为a1平方/4,如果为正向效果(乘积变大),必须满足a1平方/4 >= a1,也就是a1 >= 4才是正向效果 ,为4时相等。
当a1 是奇数时,拆成两个相差为1的正整数：(a1-1)/2和(a1+1)/2.这两个数的乘积为(a1平方-1)/4,如果为正向效果，必须满足(a1平方-1)/4 >= a1,也就是a1 >=5 ,为5时拆分为正向效果。
为啥把a1拆分成两个，而不是3个，4个或其他个？因为拆分成两个最简单，并且我们熟悉这种情况，也就是前面说的，我们知道两个正数的和一定，当它们最接近时其乘积才最大。并且我们可以把拆分后的两个数继续拆(一个数拆成两个数),经过类似这样的重复多次拆分,最后就拆分成多个数了,这就是递归。递归在日常生活中也经常碰到,例如一个大西瓜，我们先把它切成几大块，对每个大块，继续切，最后切成大小合适的。如果我们知道一次性把a1拆分成几个数并且知道每个数是多少，其乘积才是最大，那我们不就知道把m如何拆分了。但现在是不知道如何一次性拆分m，我们正在寻找这个最终的拆分方案，所以我们把a1拆分成两个数，而不是多个。
综合偶数和奇数的情况，我们把a1拆分出的两个数分别按类似的手法进行拆分调整，只要他们大于等于5就继续拆分。由此推理出只有拆分为小于等于4的数才是最优，4可拆分为2+2，且2*2=4。另外显然拆分出的数中不能有1,因为(a-1)*1 < a, 所以得出这些数只能是2和3。
从上面的结论可得出存在2x+3y=m的等式关系，x、y分别为2和3的个数(x、y为非负整数)。我当时教小孩也只想到这一步了。满足这样约束关系的拆分方案有很多，要比较出最大的还是困难，可能需要进一步研究，但想不下去了。后来在高铁上，没想数学问题，但脑子中突然想到2+2+2=3+3，但2*2*2 < 3*3，这就是灵感，很多人都有灵感，它在不经意中来到，不可预期，我小时候解题时当时就会冒出些灵感。后来反思了下，应该还是用归纳法和比较法，令x=0,1,2,3,4等进行归纳和比较。这步是关键，后面的就好办了。可得出2的个数不能超过2个，假设超过两个就至少有3个，那就把2每3个拆成3+3，所以最终最多只有2个2，也就是x=0、1、2。x=0,代入2x+3y=m,也就是当m能被3整除时，全部拆成3；x=1,也就是m除以3余2时，拆成1个2，其余都是3；x=2,也就是余1时，拆成2个2，其余都是3。x和y为非负整数，m为正数，所以x和y不能同时为0，可得出2x+3y最小值是2，所以这个结论对m >= 2成立，m为1时，只能拆成1。把这个抽象问题的普适解决方案应用到具体的100中，可得出把100拆成2个2和32个3，所以其乘积最大值为4*3的32次方。
这题更容易理解的解法是从a=m开始调整，也就是从一个数开始拆分，这个其实是上面解法中n=1的情况。当a>3时把a拆分成两个正整数(按前述的奇偶性来拆分a)，再把这两个正整数按此规则(大于3就继续拆分)继续拆分，一直递归拆分下去，直到都不大于3，得出2x+3y=m。
局部调整蕴含分阶段思想和递归思想，而阶段思想和递归思想又体现过程思想和运动发展思想。
总结：归纳(简化)、抽象、局部调整、逻辑推理。这题也可以体会下抽象的简单性。
第5题
n个正数之和为定值m，显然满足条件的n个正数(变量)有无限组。求n个正数乘积的最大值。
和第4题有点类似，第4题是正整数，这题是正数。是我把第4题泛化推广到一般情况后的抽象题。适用于初中生，小学六年级学生也能听懂解题方法。
思维过程
这个题其实是初中学的一个不等式，如下图，但我们要用小学高年级也能听得懂的方法来证明。
如果做过第4题，看到这个第5题，脑子应该要能联想类比到第4题的解题方法，也是局部调整。再结合上分类法。
第1种情况，当n=1时，显然乘积为m。
第2种情况，当n=2时，2个正数的乘积最大值很容易求得，当这两个正数相等为m/2时乘积最大。现在的小学数学培训班还要学生背过口诀，和不变(定值)，积最大。
第3种情况，当n>2时，a1+a2+…+an = m。此时我们固定n-2个数，那剩下的两个数的和就是定值。回到n=2的情况，我们把这两个数调整为相等时，这两个数的积最大，也意味着n个数的乘积经过这样的调整，也变大了。经过多轮这样调整，可以预见，只有当这n个数相等时，这样的n个数的乘积才是最大。
严谨的证明，a1~an的n个数是对称的，所以我们规定a1到an的n个数按从小到大的顺序排列，a1 <=a2 <=a3 <=…<=an,这里运用到了有序化思想，基于对称性，只研究这种情况就够了。如果a1不等于an，则固定a2~an-1这n-2个数，这样只有a1和an是可变的，但它们俩的和不变，注意到‘它们俩的和不变’这句话，这个符合第二种情况，按第二种情况的结论，所以我们可以把它们俩调整为相等(和的二分之一)，此时它们俩的乘积变大，也意味此时n个数的乘积变大。调整之后重新进行排序，排序后很显然最小的数变大了（最小的数可能为原来的a2或(原a1+an）/2,无论是哪一个，都比原来最小的a1大），最大的数变小了，也就是最大数与最小数的差变小了。如果最小数（最左边的数）和最大数（最右边的数）还不相等，那就继续按类似的方法进行调整，乘积变大，而最大数与最小数的差会继续变小。只要这个差不为0，就一直调整，按上面的调整效果，只有差为0时乘积才是最大，也就是此时最大值和最小值相等，这时显然这n个数相等。
综合n的3种情况，无论n为何正整数，都是这n个数相等时，乘积才为最大，此时最大值等于不等式左边。
局部调整再举一些例子，有时我们先把条件放宽/放松或去掉一些条件或约束，求出和问题较接近的答案，再基于这个答案进行小的变动微调，得出满足题目所有条件和约束的最终答案，可以认为是放缩，先放后缩，先粗后细，先得到一个初步的结果或状态，接下来逐步进行精化/调整，逼近最终的结果或目标状态。
总结：局部调整思想、分类思想、对称思想、秩序/次序思想、逻辑推理。也可看出，对称性思想有时要结合有序化思想。
第6题
7条直线最多能将平面分割成多少个区域？10000条直线最多能将平面分割成多少个区域？
思维过程
这题也是个具体的题，直接抽象不好处理。那还是先前的思路，归纳简化，用几个简化的具体题来找规律找经验。
简化的题：1条直线能把平面最多分成几个区域？很自然，我们会在草稿纸上画图，形象思维观察，可得出是2个。 2条直线类似画图得出最多4个区域？3条直线最多7个区域，4条最多11个。从这些简单情况中可以归纳共性，总结得出所有直线都要相交才能分割出最多区域。我们可以通过研究几种具体的情况，归纳得出n条直线最多把平面分成多少个区域，对此题就是一个公式，这处就不写了，下图中有。不过归纳靠数感，靠看透内在联系内在共性的能力，靠合理猜想的能力，这些造成归纳有时比较费力费时间，即使归纳出来还要证明这个归纳出来的结论。
我们通过归纳已经得到了一些经验：这些直线都要相交才能最多，不能平行。但如果觉得最后难以归纳出这个公式，我们可以结合使用递推思想。递推首先要有基础，也就是起点，第二是要有递推关系，这个其实类似数学归纳法。从起点开始，起点一般比较简单，容易研究清楚，也就是容易获得起点情况下的结论和答案，再基于起点通过递推关系从前一步(也可能是前几步，也就意味着要有多个起点)的结论和答案推出后一步的结论和答案，由前面(前驱)推出后续的，如此重复进行，递推也体现了阶段思想和过程思想。例如我们爬楼梯，不是一步登天，而是一步步来，后一步是建立在前一步的基础上的，建立在前一步的成果之上，不积跬步无以至千里。再比如我们建3层楼房，肯定不是直接就建第3层，那是空中楼阁不现实，而是先从第一层建起，这就是起点，起点的成果是建好的第一层楼，继承和利用第一步的成果，第二步在第一步第一层的基础上迅速建好第二层，第三步类似，继承和利用第二步的劳动成果，如此重复就完成了。与此类似，回到此题，一条直线就是基础，就是起点，我们很容易获得起点的结论：一条直线最多把平面分成两个区域(两半)。这个结论就是我们的劳动果实。对两条直线，只需在前面的1条直线基础上再画一条线就行，不会重新画两条线，同时也要继承1条直线时的劳动成果(结论)，不能重新从0开始数划分的区域个数，而是要研究如何在1条直线的结论(劳动成果)基础上迅速得出2条线的结论(劳动成果)。类似，对3条直线，在前一步的2条直线基础上再画一条直线就行，不会花时间重新另外画3条直线，也不会重新数3条线划分的区域个数，而是研究如何从2条的结论迅速得到3条线的结论。也就是递推时要找出前后结论之间的联系：递推关系。在画第三条直线时，要看图找规律，发现画了第3条直线后，第3条线和先前的两条线相交，在第3条线上产生了两个交点，这两个交点把第3条线分成3条小直线，每条小直线把原来的区域一分为二，所以总共增加了3个区域，因此3条直线的区域个数是2条直线的区域个数加3，增量为3，这个就是我们找出的具体情况(case)的递推关系，类似4条直线的区域个数是第3条直线的区域个数加4，增量为4。可看出对4条直线，我们没有对4条直线划分的区域个数重新开始计数，而是在3条直线的区域个数上加上增量就得出了结论。对5条、6条直线的情况也可体会一下，如果不通过这样递推，而是每次都重新从第1条线开始画，每次都重新对区域从0开始计数，显然很花时间，也浪费了我们前面的劳动果实。如此递推，我们可以较快算出7条直线的区域个数。但要用这种具体情况下的递推关系算出1万条直线的区域个数显然很费工夫,不现实。另外，我们是否能从这些具体情况下的递推关系归纳得出抽象的递推关系？
怎么办？既然具体到此不适用了，就像在接力赛中它已经尽了它的力量完成了它的使命，具体不行就抽象，这个也是先前辩证法中提到的解题策略，要变一下思路。我们还是要回到抽象道路上,上升到抽象情况。我们下一步要用抽象了，也就是要找n-1条直线划分的区域个数和n条直线划分的区域个数之间的关系，把这个抽象的递推关系找出来。抽象是一种很强大的武器，先前说过研究具体的简单的问题有时能启发我们，帮助我们看清看透问题，但不是所有的都如此。对这道题，我们研究了几种具体情况，确实得到了一些启发，对我们解题很有帮助。但有时具体情况太琐碎，从具体情况得出的具体的结论层次不高，有个性/特殊性。具体的情况也数量多，而抽象出的东西是少数，有共性一般性，它的层次更高更有普适性统一性更深刻更本质，此时抽象可能可以帮助我们更透彻更高层次看清问题或更方便处理。我们可以从上面的具体情况归纳得出抽象形式的递推关系(其实我们在前面根据1条线、2条线、3条线、4条线这些具体情况获得的启发:例如3条线的区域个数是2条线的区域个数加3，4条线的区域个数是3条线的区域个数加4，已经非常容易归纳得出这个抽象的递推关系)：n条直线区域个数等于n-1条的区域个数加n,翻译成更简洁的数学语言就是an=an-1+n。如下图，其中an代表n条线把平面分割成的最多区域数量,an中n是数列下标，不好打下标，凑合把n和a写成一样齐。这些a1、a2、an，+-这些以及这些递推关系等式都用到符号化思想，这里不介绍了，这个从小学一年级就碰到，司空见惯，对研究的对象取名字(命名)或编号也属于符号化思想。
根据这个抽象的递推关系，再结合a1=2这个基础，基础作为递推的起点，可得出an数列的通项公式，如下图。
数形结合中的形就是利用问题中的图形或广义上的形象思维来帮助我们获得洞见，利用图形的直观性来解题来发现规律来获得洞见，通过视觉观察，就能得出规律找出解题突破口。如果题目中没有图形，那就主动去想象去可视化，去找问题中对应的图形或把题目中的一些已知条件和关系转化成对应的图形。
数形结合有两个方面，第一个是数转化成形，转化成数的几何解释或对应的几何图形或图表，例如小学低年级的应用题,不会解方程，我们就教小孩把题目已知条件和数量关系转化成对应的线段，这些线段就是数对应的几何解释。初高中，把方程代数问题转化成几何和坐标系中的图形，例如圆和坐标系中的直线等。另一方面是反过来，将形转化成数或提取形中的数量关系，进行计算。这些在初高中的题中都会有体现。
对一些难题，你在草稿纸上试着把解题过程写出来，观察纸上的图形图表和解题过程，这些纸上的东西就会激发刺激你的联想和思维，很可能就找到解题突破口或获得洞见，例如前面的第2题得到感性认识和理性认识。
形象思维,主要是指人们在认识世界的过程中，利用直观的形象(可能是大脑中想象的形象和纸上黑板上的图形等)，借助这些形象,观察这些图形来获得洞见或解决问题。形象思维不只是艺术家的专利，在数学和物理中也有很多应用，例如数学中的各种图形，例如矩形、三角形、二次曲线和物理中的磁力线。视觉是个重要的信息来源，俗话说一图胜千言,图形很直观,通过观察图形,可以很快地发现其中隐藏的一些特则和规律。
如上图，我们在草稿纸上画出多条线段，观察发现提炼总结图形中隐藏的特征和规律，发现直线上的交点和数量以及小直线把区域一分为二，以及小直线和区域的对应关系。
如上图，我们通过抽象，建立了抽象模型，然后利用求数列通项公式的知识点得出了抽象模型的抽象理论公式或解决方案，在上图中就是an的通项公式。
从抽象模型到抽象解决方案的过程，这个过程可能比较艰难，有难度有门槛，好比爬雪山过草地，但一旦想法跨过门槛得到了抽象解决方案，那就苦尽甘来，就对问题有了深刻本质的认识。另一方面，我们对抽象模型并不是手无寸铁，我们已经掌握了很多处理抽象模型的知识点和经验，例如这题中涉及到的求数列通项公式的知识点，所以不要害怕抽象，有了这些处理抽象的知识点做工具，抽象之后反而海阔天空，反而比具体要简单，这个也验证了抽象中的简单性。这题如果不用抽象，一直用具体，是难以快速获得答案的。
先前提到过，有些简单的具体能帮我们看清楚问题，但抽象解决方案才是这个问题的道，用它能帮我们更深刻更全面地看清问题。先哲说过:以道莅天下,其鬼不神。我们有了an通项公式这个道,还有啥不服帖的,不清楚的,10000条直线的情况也能轻易掌握。要好好体会抽象的好处和作用。
总结：画图形象思维、归纳简化得到感性认识，得到启发或经验&规律、转化、递推、抽象、联想类比到竞赛班学过的求这类数列通项公式的题型和方法。具体不行就抽象，抽象不行就具体，这是体现辩证法矛盾观的解题策略。
递推的起点不一定只有一个，根据题目的特点，有些题要用多个简单的情况做起点，也就是有些递推关系中要涉及到多个前驱或有多个递推关系。
如下图的正12面体，每个面是5边形，求它的顶点数和棱数。
思维过程
看到这题，首先联想到的是多面体欧拉公式：V - E + F = 2其中，V是多面体的顶点个数，E是多面体的棱的条数，F是多面体的面数。这里F为12，但一个方程两个未知数V和E，解不出。
观察题目中几何图形可得出如下结构特征：这些面是闭合(封闭)在一起的、一条棱被2个面共享、一个顶点被3条棱共享。封闭就是点、线、面(5边形)的组合，组合产生点线面的过度耦合，过度耦合产生难以一眼看透的复杂关系，增加了问题难度。要想法把问题从复杂退到简单，辩证思维，正难则反，可想到封闭组合的对立面:开放。从封闭组合退到开放状态，也就是把这个多面体拆开成12个5边形，拆开就达到了解藕，降低了耦合度，问题变简单了。这些五边形共有12*5=60个顶点和60条边，拆开后的边和顶点与多面体的棱和顶点有对应关系(比例关系)：由于一个顶点被3条棱共享，1个顶点拆开后变成3个，1对3(1比3)；一条棱被两个面共享，1条棱拆开后变成2条边，1对2。
因此边和棱的总数也有这样的对应关系。
所以多面体的顶点数为60/3=20，棱数为60/2=20。
如果换一个角度观察，可以发现点线面的个体关系：1个点对应3条边，反过来，1条边对应2个点；1个面有5个顶点5条边，反过来，1个顶点对应3个面，1条边对应2个面。基于这些个体关系，我们也可逻辑推理得出面的总数、边的总数、点的总数的总体的数量关系：边总数=5/2面数，顶点总数=5/3面数，边总数=3/2顶点数。面数是12，也很容易得出结果。
总结：通过观察识别发现规律/特点/特征/关系，利用这些来解题、联想(相反联想)、对应/关系思想。
显与隐：除了题目中已知的很明显很直接的信息(特征、特点、规律、联系/关系、矛盾、约束限制条件、不利因素、性质等)，我们通常还要通过观察来挖掘出识别出题目中隐藏的信息(特征、特点、规律、联系/关系、矛盾、不利因素、性质等)。观察在日常生活中是司空见惯，无时不刻都在运用。我们每天观察各种事物，照镜子、过马路前后左右甚至上下观察。医生望闻问切，观察或检查病人病情症状,再对症下药。
在解决问题时，对这些信息要进行初步的分析和分类，分析：这些信息相互之间是否有矛盾(注意这里的矛盾是指辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾),是否有不和谐。分类：一般分成两类，一类是良性信息，我们感觉顺手，便于我们解题，对我们解题起助益作用的，我们比较容易利用这些信息来解题，也就是我们很容易联想到运用掌握的知识和经验利用这些来解题，另一类是矛盾信息，在感觉上，我们觉得它们比较别扭，和其他数学元素不融洽。它们是妨碍我们解决问题的，就是因为有这些信息的存在，才导致解题困难，或者说我们对这些信息不知道如何利用或感觉难以利用，不顺手不顺眼。对题目中的矛盾和妨碍解题的信息，我们要想法进行转化/改造/变换/纠正，数学思想方法就是用来帮助我们找对策来转化它们改造它们，例如联想、类比、抽象、数形结合、整体思想、构造。
这题中也运用了辩证思维和直觉思维，利用了封闭和开放的辩证关系。我们观察图形，发现其中一个特征：多面体是封闭的，闭合在一起。这个封闭的特征就妨碍我们解题，增加了题目的难度比较棘手，让我们不好处理问题，不好计算顶点、棱数。这个特征绕不过去，必须要面对它解决它，此时就要对解题起阻碍作用的特点进行改造/转化/消除/克服纠正，所以我们就反向联想到要将多面体展开(拆解开)进行改造进行变化转化。具有敏锐直觉思维能力的人，看到这题的图形特征，能很快意识到(感觉到)要拆开多面体，只要一想到拆开(这是一个解题突破口，一道坎)，此时，在大脑中迅速意识到该问题想通了，因为想到拆开之后，再想到拆开后的图形很容易计数（计算边和顶点总数），并且拆开后的边和顶点与闭合图形存在多对一的对应关系。通过这样一连贯的思考，大脑中立即感觉问题变简单了变熟悉了，整个思路贯通了,这个也是在后面文章（数学思想方法揭秘-3-5第17题）中将要提到的在大脑中'走几步'。
第一篇中提到过辩证思维词汇表，如果你的词汇表中没有这里的'封闭和开放'，那通过解这道题，就应该把'封闭与开放'这个概念对加到你的辩证思维词汇表中。
通过这题的解题思维过程，要好好体会辩证法中的矛盾观、运动-变化-发展观、联系观、否定之否定。简要讲述如下。
矛盾观：封闭和开放是一对矛盾，它们相互制约相互联系相互转化。反者道之用，封闭可转变到开放，所以我们从封闭想到了开放，拆开了封闭的多面体；开放可变到封闭可回到封闭，所以我们根据开放时的点和线的数量、封闭-开放的点-点、线-线数量的比例关系，反算出封闭时的点、线数量。
基于自身的解题思维体会，觉得数学中尽人皆知的分析法要改为矛盾分析法更合适，在数学解题中如何运用矛盾分析法，本系列也有介绍。
联系观：万事万物之间以及内部都存在相互的联系。此题为何能从封闭到开放，再从开放到封闭，就是因为在结构上，封闭与开放这对矛盾存在相互联系，存在关系，可以相互转化。在数量上，此题中的比例关系是我们根据开放时的点、线数量反算反演出封闭时的数量的保证，我们利用了这种关系，这也是前面讲的关系思想。
否定之否定：从封闭到开放，这是对封闭的否定；再从开放到封闭，是对开放的否定，又 回到了封闭。这就是否定之否定的循环往复之道。从开放回到封闭，但又不是回到刚开始解题时的封闭，是在认识上有了发展的封闭，是螺旋式上升后的回归，好比经常讲的：第一个阶段看山是山，第二个阶段，看山不是山，第三个阶段又回到看山是山，但第一个阶段和第三个阶段的看山是山是不同的，是发展了的。
运动-变化-发展观：运动变化是绝对的，唯一不变的是变化。万事万物都在运动变化，有形的物质实体和无形的思维都在运动变化。从封闭到开放，将多面体拆开；从开放到封闭都是运动变化。通过讲多面体拆开，我们变更了问题的形式。除了各种物质的、对象的运动变化，我们的思维也在运动变化，思维活动就是运动变化：大脑从封闭想到开放，再从开放想到封闭，就是思维的变化。数学解题思维的最高原则就是辩证法的运动变化：例如此题从封闭变到开放，变更了问题的形式；进行换元；进行代数式的恒等变形；不等式的放缩；添加几何辅助线和几何变换；利用各种思维方式变化问题，例如利用转化、联想、类比、抽象、归纳、比较、判断、推理等等；从换元法变到配方法；思维形式和思维内容的变化，例如从联想思维变到抽象思维，就是思维形式的变化；从联想到A知识点变到联想B知识点，就是思维内容的变化。所有这些都是解题过程中的运动变化。解题碰到困难，没有思路时，多反思多发散思维，多问问自己还能从哪些方面变化，多问问自己还能如何变化，念念不忘，必有回响，有可能就峰回路转，柳暗花明。争取成为72变的孙悟空，数学思维素质其中之一就是灵活变通。
通过这道题的思维过程，可见辩证法中的这些"观"也是相互联系的，是一体的，是密不可分的。
辩证法一点都不神秘，道在日用，它就在我们的日常生活中。即便对一些高年级小学生，通过这样实际的例子给他们讲辩证法是可行的，要多结合生活中的各种具体的例子来讲，不要只用数学题做例子。这也是本系列反复强调学数学要真懂辩证法，数学思维离不开辩证法，要会运用辩证思维。那种只在政治课上、哲学书中、口头上的哲学是无用的哲学，不能纸上谈兵，必须联系具体实际，必须联系具体的学科来领悟理解和运用。
辩证法的这些思想和观点，在东西方早就有，它们不是辩证法的首创，是拿来主义，借鉴吸收过来的。道德经、太极图中处处有这些辩证法思想。唯物辩证法的主要贡献是用近代人能理解的话语体系对它们作了总结梳理，这也不错。
<<道德经>>”反者道之动，弱者道之用”，讲述“道”的运动变化法则和“道”如何作用。运动变化法则就体现辩证思想，道就是各种规律和事物的本源。”反者道之动，弱者道之用”的数学解读：反者道之动，反同返，此题从封闭到开放，再从开放到封闭，每一步都是反，整体上是否定之否定，否定之否定中的”否定”要辩证地理解，不要完全生硬理解为通常意义上的否定，而应该是在上一次基础上的加强、升华、调整或变换，例如九蒸九晒黑芝麻丸，多次蒸晒，对一道数学题，其解题方法的每一步通常也不是在否定前一步或否定先前。正反看问题，系统全面、灵活变通，会转化会变换，循环往复(来来回回，这就是否定之否定的螺旋式上升或反演，例如从正到反，再从反到正的运动、变换、反演)，会绕弯迂回，曲线救"国"，二(多)次审视。”弱者道之用”中的”弱者”在数学中指的是什么，或者说包括哪些？在整体层面，它指的是数学思维能力，在具体的问题层面，它指的是数学问题的破绽、突破口。数学思维能力表面上看似无形，似乎虚无缥缈，有时令人捉摸不定，似乎没有力量，不像数学知识那样具体可见，实实在在，可以立刻利用数学知识解决具体问题。但正如道德经所言，无中生有，看似无形的思维可以生出解题方法(有)，这就是无的玄妙，也是柔弱胜刚强。数学思维之道如何发挥作用，就是用弱而不是用强，顺应自然。弱者，是柔和柔弱，不是怯弱软弱。看似弱，但柔弱胜刚强。在具体的问题层面，弱者就是问题的破绽和突破口，问题的破绽包括问题的特征、规律、关系等。庖丁解牛就是用弱，顺其自然，顺着牛身体结构中的缝隙进刀，在庖丁眼中即便是一头大牛也是外强中干，顷刻瓦解，而不是凭蛮力滥砍滥切，既费时费力又容易损坏刀。在数学思维中，以柔克刚，对不好解决的问题，如果正面硬刚、直接刚不行，那就要避其锋芒，顺应自然，会变通会变化(此处不说转化，说转化，层次有些低，转化只是变化的一种形式)：反过来，找问题的突破口：找细微、微妙、基础、本源(比如回到问题中的概念或定义上，回到本源就好比回到刚出生的婴儿状态，这难道不是弱？)、本质之处，找问题中的关系，找和它关联的容易解决的问题、变化问题让它显露出薄弱点(变化它，让它变容易变熟悉就是显露出薄弱)，这些都是顺应具体问题的特征从薄弱处入手找突破口来探索解决困难问题的思路，这不正体现数学思维中的弱者道之用？辩证思维词汇表中的复杂与简单，作用与反作用、抽象与具体，一般与特殊，直接与间接等等，以及解题策略大多都是这样运用。此题中从封闭到开放，就是矛盾的转化，因为我们对封闭情况下的问题认识不清楚，有难度，所以把多面体拆开，拆开后变简单了，变出了容易解决的弱问题，最后解决了外强中干的封闭多面体问题，这不正是柔弱胜刚强？这不正是生活中的欺软怕硬？这不正是道在日用，在日常生活中?
上面的太极图没有旋转，也没有立体效果，没有很好地体现出辩证法的矛盾观、运动观、否定之否定观、联系观和螺旋式上升的循环往复之道，但大致直观表达了其中的基本涵义。
此题从封闭到开放，从开放到封闭好像运用了逆向思维，但其实是辩证思维，辩证思维和逆向思维是不同的，或者及其勉强地认为逆向思维是经过大幅裁剪的简化版的辩证思维，它略微有一点点辩证思维，但绝对代表辩证思维。
在前面的解题中也提到过要观察，在后面的第9题，观察发现倒数关系，再想法利用这个有利于解题的关系（这个是良性的）；第9题还介绍了辩证法中的矛盾分析法，先观察找出问题中的矛盾，对妨碍我们解题的矛盾进行改造转化，消除矛盾转化矛盾。在第13题中加辅助线和解几何题时，也要观察几何图形的结构特征，对格局不好的地方添加辅助线进行改造或观察发现几何图形的数量方面的关系，采用数形结合的方法来解几何题，例如第17题。第15题运用抽象的思想方法来转化，将不好处理的具体问题转化成容易处理的抽象问题，第16题是运用数形结合的方法来转化，将不好处理的方程问题转化成几何问题或对应的几何形式。算式、等式、不等式中的各种变形(例如合并同类项、或从左边移到右边，或等式两边平方、或分数的裂项)或几个数学对象之间进行各种运算（如两个方程相加或相减，两个数学对象相乘或相除）或推理产生新的数学对象和信息，目的都是为了转化改造，在变化中寻求解决问题的机会。
观察是一项基本的技能，几乎每道题都涉及到观察，另外不只是在解题开始要观察，在解题过程中也要敏锐地观察。
第8题
求时针和分针在一天中重合几次，时间从0点0分0秒开始到下个0点0分0秒（包括）。
这是我小时候读书时的题，这题当时不难。
思维过程
这个要能联想类比，识别出是个追击问题，把它和熟悉的直线追击问题进行类比，不能换个马甲就不认识了。时针分针就是追击问题中的两个人或车，这里的速度单位是圈/小时,里程就是圈或角度(度数)。可见我们通过联想类比，建立了问题和已有知识点以及解题经验的联系桥梁，这个题就很好理解了，在心理上没思维障碍，把直线追击问题的经验和知识迁移过来照搬使用。
时针的速度是1/12圈/小时，分针速度是1圈/小时。在0:0:0重合后，使用运动思维、过程思想，结合形象思维，在草稿纸上画出追击过程，也就是时针和分针的运动轨迹(从0:0:0开始到下一次重合位置),它们的运动轨迹是圆弧。观察草稿纸上的两个轨迹，就明白下次重合，分针要多走1圈(分针走的圆弧圈数比时针多一圈)，这个1圈就是普通追击问题中的初始相距的距离，也就是要多走的距离。普通追击问题的追击路线是非封闭的，这个时钟追击问题的路线是封闭的(圆)。下次重合需要时间为1圈除以（1-1/12）=12/11小时，其中1-1/12是分针和时针的速度差，也就是每小时多走的距离为11/12圈，现在要多走1圈才能重合(追上)，所以需要1除以11/12，也就是经过12/11小时才能下次重合。后面就是周期思想了，从0点开始，每12/11小时重合一次，所以每次重合时间可归纳抽象为12n/11，n从0到22，所以有23次。
总结：联想、类比、运动思想、过程思想、形象思维、周期思想。做题一般要观察，特别是碰到算式、方程、等式、不等式、函数、和图形等，形象思维更要观察。通过观察，发现和识别出题型、概念、规律、特征、性质、特点、关系/联系。观察时要伴随有联想、类比、归纳总结、比较、判断、计算、推理等思维活动。
总体感觉，现在的小学奥数真不容易，初中竞赛的不定方程、高中的排列组合计数在小学奥数中都有，还不是那种直接套公式的简单的排列组合问题。小学生经验和知识面、理解力都很初级，又很少教思想方法和解题策略。不用数学思想方法，这些老师是怎么教的？让学生知其然不难，关键是如何知其所以然的？
如上，从小学开始，我们就应该在具体的解题过程中给学生传授数学思想方法和解题策略来训练他们的数学思维，对他们进行熏陶和启发，让他们知其然并且知其所以然，要让他们有数学思想，掌握一套切实可行的数学思想方法论，用这套思想方法论来指导自己的数学解题思维过程，这样才是真正培养数学思维的正确教学方法。
家长不要担心那些只会雕虫小技的孩子超过了自己的小孩，不要急功近利，只要按照思想方法加雕虫小技并重的方式来进行解题思维的熏陶和训练，一旦悟道数学思想方法，在思维层次上立马超过那些不懂数学思想方法的小孩。
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