常微分方程的基本概念

(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》)
学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念.微分方程指含有函数 $(y)$ 和函数导数 $(y^{(n)})$ 的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为常微分方程(ODE);如果未知函数是多元函数,那么称之为偏微分方程(PDE).对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为 $y^{(k)}$ ,则称该方程为 $k$ 阶的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为 $k$ 次的.

实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题,

Def 1通解:设一个 $n$ 阶方程的解 $y=f(x,C_1,...,C_n)$ 含有 $n$ 个独立的任意常数 $C_i,i=1,2...n$ ,即雅可比式不为0 $\frac{\partial(\varphi,\varphi^\prime,...,\varphi^{(n-1)})}{\partial(C_1,C_2,...,C_n)}\neq 0$ 那么我们称 $y$ 为该方程的一个通解

至于为什么一个微分方程的通解有 $n$ 个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有 $n$ 个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢?

Ex 1:设 $y=g(x,C_1,...,C_n)$ 充分光滑,各任意常数相互独立,求证:存在一个 $n$ 阶微分方程,它的通解为 $y=g(x,C_1,...,C_n)$
证明:首先对y求导(已知光滑),得到 $\left\{\begin{aligned} &y=g(x,C_1,...,C_n)\\ &y^\prime=g^\prime(x,C_1,...,C_n)\\ &\cdots\\ &y^{(n-1)}=g^{(n-1)}(x,C_1,...,C_n)\\ \end{aligned}\right.$ 又各任意常数 $C_i$ 相互独立,即 $\frac{\partial(\varphi,\varphi^\prime,...,\varphi^{(n-1)})}{\partial(C_1,C_2,...,C_n)}\neq 0$ ,根据向量值函数的隐函数存在定理,得到 $\left\{\begin{aligned} &C_1=\phi_1(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n-1)})\\ &C_2=\phi_2(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n-1)})\\ &\cdots\\ &C_n=\phi_n(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n-1)})\\ \end{aligned}\right.$ 将 $C_i$ 代入 $y=g(x,C_1,...,C_n)$ 即可 $\ \ \square$

如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的 $y$ 为一个特解.固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为初值问题,也称作 $Cauchy问题$ .初值条件的一般形式是 $\begin{aligned} y(x_0)=y_0,y^\prime(x_0)=y\prime_0,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0 \end{aligned}$ 实际上我们可以在初值条件 $(x_0,C^0_1,\cdots,C^0_n)$ 的一个邻域内类似Ex 1地确定通解中的所有任意常数.

几何解释

以一阶微分方程为例
$\frac{dy}{dx}=f(x,y),f(x,y)\in C(I)$
设它的通解是 $y=\phi(x)$ ,显然对于I内的一个点即使我们不知道 $\phi(x)$ 的表达式我们仍然知道在这一点处 $y=\phi(x)$ 的斜率是 $f(x_0,y_0)$ ,我们称经过 $(x_0,y_0)$ 斜率为f(x_0,y_0)的一条小线段为在 $(x_0,y_0)$ 的线素,记作 $l(x_0,y_0)$ ,I及其上所有线素称作线素场.无论 $f(x,y)$ 是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果 $(x_0,y_0)$ 点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的奇异点.
为了作出微分方程的线素场,我们常常用 $f(x,y)=k$ 来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的等斜线.

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