一、原子与光场相互作用

1. 半经典理论跟全经典理论的区别

半经典理论中将光场体现在微扰哈密顿量中，全经典的哈密顿量则包括了原子，光场及相互作用部分。

2. 半经典求解步骤

①哈密顿量=多模原子自由哈密顿量+相互作用哈密顿量。

②电偶极近似（忽略磁场，光场视为均匀）。

③将态矢量用自由哈密顿量本质矢展开后代入薛定谔方程得概率幅方程。

④在单模光场情况下，取一级微扰近似（作用时间短，相互作用强度弱）和旋转波近似。

结论：单模光场只跟原子满足共振条件才有较强相互作用。（注意：这是在一级微扰近似下得出的结论）

⑤考虑单模光场与二能级原子作用，变换到相互作用绘景，将态矢量用二能级基矢展开后代入得概率幅方程组，设定初始条件求解方程组可以求解：布局概率（密度算符对角矩阵元），布局数差，电偶级矩（密度算符非对角矩阵元）。考虑发生共振时，原子发生Rabi振荡，处于两能级的叠加态。也可用布洛赫方程组或密度算符方程组求解。

⑥考虑双模光场和三能级原子的作用，同样对微扰哈密顿量取电偶级近似，旋转波近似，变换到相互作用绘景，态矢量用三能级基矢展开后代入，求解概率幅方程。当满足一定条件时，虽然发生共振但原子总是处于某个态（囚禁态）。

二、光场的量子化过程

1. 将腔内电场进行驻波（行波）展开，由麦氏方程的到磁场的驻波展开，进而得到哈密顿量。

2. 将广义坐标q，和广义动量p视为算符并赋予对易关系。

3. 引入光子湮灭、产生算符表示（电场正交分量算符位置、动量算符）。

三、准概率分布函数

引入准概率分布函数是为了方便求物理量平均值和区分不同量子态。

1. 任何算符都可以表示成正、反序排列的形式（原因是任何算符都可以表示成坐标动量算符的形式）

2. P,Q 函数用来求正反排列算符平均值时直接是一个积分关系。

3. 坐标动量空间的wigner函数，可用于计算对称排序算符的平均值。

4. 特征函数，概率分布函数互为傅里叶变换。

四、量子相干性

相干函数为关联函数的归一化，描述两个不同时空点的关联程度。

1. 相干态跟光子数态同样具有完全相干性。（g1=1） 

2. 光子反群聚意味着亚泊松分布（对于单模光场）

五、原子与光场相互作用的全量子理论

1. 哈密顿量=多能级原子自由哈密顿量+多模光场自由哈密顿量+相互作用哈密顿

2. 对相互作用哈密顿取电偶级近似

3. 变换到狄拉克绘景然后将态矢量用自由哈密顿量基矢展开得到概率幅方程

4. 设定初态并取一级微扰近似求得概率幅，得到与半经典理论同样结论

①一个单模光场只跟原子满足共振条件才有较强相互作用。（注意：这是在一级微扰近似下得出的结论）

②真空态光场没有吸收，而有发射（自发辐射为原子与真空态光场相互作用结果）

③当光子数较大时（趋于经典光场），在满足共振条件的能级发生Rabi振荡。

5. 在单模光场及二能级情况下，取电偶级近似和旋转波近似得相互作用哈密顿。

6. 考虑共振情况并变换到狄拉克绘景并将态矢量按自由哈密顿量本征矢展开代入薛定谔方程得概率幅方程。设定初始条件（光场处于光子数态）得到Rabi振荡的解，态矢量处于纠缠态。（时间演化算符得到同样结果）。当光场初始处于相干态（光子数态叠加），反转粒子数W随时间是呈现崩塌与复苏现象（多个Rabi振荡的叠加），在半经典（即光场视为经典）情况下，只有Rabi振荡形式而没有崩塌与复苏。

7. 在非共振情况下并考虑初始光场是光子数态的叠加态，求解概率幅方程组得到联合概率幅。讨论原子性质则对联合概率幅对光子数求和，讨论光场性质则对原子能级求和。

8. 在单模光场二能级的总哈密顿的本征态为两个缀饰态（裸态的相干叠加，共振时兼并，失谐时近似为裸态），利用时间演化算符可以得到态矢量为缀饰态叠加。

9. 二能级和多模光场作用取电偶级近似并变换到狄拉克绘景，取旋转波近似得相互作用哈密顿量，在初态为上能态和真空态直积的情况下，将态矢量展开为，代入薛定谔方程得到概率幅方程，进一步得到上能级概率幅微分-积分方程。假设场模很密集（求和化为积分），并且相互作用近似为共振频率处的delta函数，得到自发辐射速率方程，说明上能级粒子数以指数衰减，寿命为,其中为衰减速率，与频率3次方成正比，与电偶级矩平方成正比。跃迁到某个模的概率随着失谐量越大，越小。

10. 三能级和多模光场相互作用取电偶级近似，变换到狄拉克绘景并取旋转波近似得哈密顿量。在初态为最高能态和真空态直积的情况下，将态矢量展开。代入薛定谔方程得到概率幅方程，考虑采用WW近似，得到末态的速率方程组。只有在两能级差跟两光子达到共振时才有较大的跃迁概率。

六、耗散和退相干

1. 量子跳跃理论

主方程（描述耗散过程）→相干态衰减为真空态，奇偶相干态则先退相干成混合态后衰减为真空态。

2. 密度算符方程

①讨论在热库和压缩真空库情况下的密度算符方程，

②体系具体化为二能级原子和单模光场

③具体通过密度算符矩阵元讨论原子布局数和光子数概率分布，用密度算符求平均的方法求反转布局数和平均光子数。

④将密度算符方程在相干态表象写出可以得到福克普朗克方程。

3. 在海森堡绘景中得到湮灭算符随时间的演化为朗之万方程。

①具体到热库可以得到湮灭算符随时间的演化（指数衰减），同时光子数也是指数衰减并趋于热库中同频的光子数。

②通过关联函数的傅里叶变换可以得到腔场的光谱函数。

4. 将库看成连续变化谐振子集合得到总哈密顿量。

①在海森堡绘景中，得到体系和库湮灭算符随时间演化

②定义体系输入场和输出场的湮灭算符得到边界条件和输入输出频谱关系。