通过使用常见的系统表示方法，确定系统的模型。在确定系统的模型之后，我们就可以尝试对系统进行分析了。那么针对一个系统，我们该如何分析呢？在分析的时候需要关注什么呢？针对一个控制系统而言，以及在设计控制率的时候，需要始终贯彻的关键字是“稳（稳定性）、准（准确性）、快（快速性）”。而针对一个系统，在经典控制理论中，我们有三大分析方法，分别是时域分析法、根轨迹法、频域分析法。此文主要阐述时域分析法的由来和原理。

1.时域分析法的由来

20 世纪初，自动控制理论开始兴起，时域分析法在其中得到了重要应用。控制系统需要分析系统在输入信号作用下的输出响应，以评估系统的性能和稳定性等。通过建立系统的微分方程或差分方程模型，在时间域内求解系统的输出，能直观地了解系统随时间的变化情况。

2.时域分析法原理

在自动控制理论的发展过程中，时域分析法逐渐形成了一套完整的分析方法和性能指标体系。如在分析线性定常系统时，通过研究系统对典型输入信号（如阶跃信号、脉冲信号、斜坡信号等）的时域响应，定义了诸如上升时间、峰值时间、超调量、调节时间等性能指标，以此来衡量系统的动态性能。

2.1典型输入信号

为了求解系统的时间响应，必须要了解输入信号的解析式，然而在一般的情况下，控制系统的外加输入信号无法预先确定，因此需要选择典型的输入信号来求解对应的系统响应。很多地方都会提到常见的典型信号有阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号、正弦信号，但是并未给出对应的物理含义，初看感觉就是不同的数学函数表达式而已。在这里笔者想进一步解释为什么会是这些信号，这些信号分别有什么物理意义。

阶跃信号
在 $t=0$ 时刻，信号值从 $0$ 突变到某一恒定值，函数表达式为 $r(t)=A\times 1(t)$ , $A=1$ 时为单位阶跃信号。从其函数图像来看，就像是一个台阶一样。实际物理场景包括电源突然接通或断开，如电子设备的开机、关机瞬间，电路中的电压或电流会出现类似阶跃的变化；负载突然变化，像电机驱动系统中，当机械负载突然增加或减少时，可近似为阶跃信号输入；指令突然转换，如电梯控制系统中，当乘客按下楼层按钮，电梯的速度控制指令会突然变化，可看作阶跃信号。
斜坡信号
信号值随时间呈线性增长或减少，函数表达式为 $r(t)=At\times 1(t)$ , $A=1$ 时为单位斜坡信号。从其函数图像来看就是一个正比例函数。在自动加工机床的进给系统中，刀具以恒定速度进给，刀具的位置随时间变化的关系可视为斜坡信号；汽车在巡航控制下，若速度设定为匀速增加或减少，其速度随时间的变化就是斜坡信号的实际例子；还有电梯的匀速上升或下降阶段，其位移随时间的变化也可近似为斜坡信号。
加速度信号
抛物线信号，信号的变化率随时间呈线性变化，函数表达式为 $r(t)=\frac{1}{2}At^2\times 1(t),A=1$ 时为单位抛物线信号。在航空航天领域，飞行器的起飞加速阶段，若加速度恒定，其速度随时间的变化可等效为加速度信号输入下的系统响应；在高速列车的加速过程中，若要实现匀加速启动，其位移随时间的变化就符合加速度信号的特征。
脉冲信号
脉冲信号相对来看比较陌生，理想的单位脉冲信号 $\delta(t)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$ 。在机械冲击试验中，对试件施加的瞬间冲击力可看作脉冲信号，用于测试试件在冲击下的响应；在雷达系统中，发射的短脉冲信号用于探测目标，通过接收反射回来的脉冲信号来确定目标的位置等信息；在数字通信中的抽样脉冲，用于对连续信号进行抽样，实现信号的离散化处理。
正弦信号
正弦信号的表达式为 $r(t)=Asin(\omega t + \varphi)$ , $A$ 为幅值， $\omega$ 为角频率， $\varphi$ 为初相位。在机械冲击试验中，对试件施加的瞬间冲击力可看作脉冲信号，用于测试试件在冲击下的响应；在雷达系统中，发射的短脉冲信号用于探测目标，通过接收反射回来的脉冲信号来确定目标的位置等信息；在数字通信中的抽样脉冲，用于对连续信号进行抽样，实现信号的离散化处理。

2.2时域分析下的性能和指标

在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由暂态（动态）过程和稳态过程两部分组成。在一开始，笔者就提到了一个控制系统最重要的是“稳、准、快”，其中最重要的是稳定，稳定是控制系统能够运行的首要条件。如果一个系统不稳定，那它的所有性能都是无稽之谈。因此，也只有在暂态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。

暂态性能
一般认为阶跃输入信号对系统而言是最严峻的工作状态，因为在阶跃的一瞬间是突变的。如果系统能够在阶跃输入信号下表现出较好的暂态性能，那么系统在其他形式的输入信号作用下，其暂态过程也是毋庸置疑的。那么在单位阶跃信号的作用下，系统会随时间呈现出不同的暂态过程，在此情况下评价一个系统的指标称为暂态性能指标。如图1所示，结合此阶跃响应图像，可以得到常见的时域暂态性能指标的定义。（以下按照重要顺序依次阐述）

图1 单位阶跃响应

调节时间 $t_s$ 指响应到达并保持在终值的 $\pm 5\%$ 内所需的最短时间
超调量 $\sigma\%$ 指响应的最大偏离量与终值的百分比，即 $\sigma\%=\frac{\Delta h}{h(\infty)}\times 100\%$
峰值时间 $t_p$ 指响应超过其终值到达第一个峰值所需要的时间
延迟时间 $t_d$ 指响应曲线第一次到达其终值的一半所需要的时间
上升时间 $t_r$ 指响应从终值的 $10\%$ 上升到终值的 $90\%$ 所需要的时间。上升时间越短，响应速度越快。

稳态性能
稳态性能通常是在阶跃信号、斜坡信号或者加速度信号下进行测量和计算的。若系统时间趋于无穷大的时候，系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差。如果用数学表达式来表示则更加清晰，即： $e(\infty)=\lim_{t\to \infty}e(t)=\lim_{t\to \infty}(c(t)-r(t))$ 。
在上述性能指标来看，通常峰值时间和上升时间是用来评价系统的响应时间的，超调量是评价系统的阻尼程度(后面再结合相关内容一起解释)，而稳态误差则是评价系统的控制精度。所以，这也刚好呼应了控制系统最重要的三个字“稳、准、快”。

3. 控制系统时域分析

结合上述内容，可以明确控制系统的时域分析就是通过对某一稳定的系统输入典型信号（如阶跃信号），通过判断其随时间变化的响应过程中暂态性能和稳态性能指标，从而可以对不同系统的快速响应和对输入信号复刻的准确性有一个理性的判断。以下结合一个实际的物理系统，用时域分析法对其进行分析。
RC 串联电路在电子电路中应用广泛，如在滤波电路中，可根据电容和电阻的参数设置，让特定频率范围的信号通过或阻止某些频率的信号，起到筛选信号的作用；还可作为积分电路，在模数转换器中对输入信号进行积分运算等。如图2所示，为一个RC电路。

图2 RC电路

假设电容的初始电压为

0

，即

u_0(0)=0

。利用基尔霍夫定律，可以得到

U_i=RC\frac{dU_0}{dt}+U_0\tag{1}

此处的输入信号

r(t)=U_i

，响应信号

c(t)=U_0

，将上述方程写成更习惯的微分方程的形式，可以得到：

\dot{c}(t)+\frac{1}{\tau}c(t)=\frac{1}{\tau}r(t),\tau=RC\tag{2}

如果单从微分方程求解的角度，可以得到对应的解为

c(t)=r(t)(1-e^{\frac{t}{\tau}})\tag{3}

假设输入信号为单位阶跃信号，即

r(t)=1

，则对应的阶跃响应为

c(t)=1-e^{\frac{t}{\tau}} \tag{4}

从阶跃响应的解析式可以看出，时间常数

\tau

会影响系统的响应速度，同时当

t\rightarrow \infty，c(t)=1

，则稳态误差

e(\infty)=0

。
由于该系统满足零初始条件，我们也可以从传递函数的角度来分析此系统的阶跃响应，同时可以将微分方程和拉普拉斯变换结合起来，更方便理解不同的表示方式。于是，可以得到系统的传递函数为

G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{\tau s+1}\tag{5}

此时，单位阶跃信号

\frac{1}{s}

的响应为

C(s)=\frac{1}{s(\tau s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{ s+1/\tau}\tag{6}

同样再经过拉普拉斯逆变换可以得到时域形式的阶跃响应如(4)式。
根据暂态性能指标定义，一阶系统的暂态性能指标为

t_d=0.69\tau,t_r=2.2\tau, t_s=3\tau

，峰值时间和超调都不存在，于是可以求得对应的性能指标。
为了更直观地了解系统的响应过程，可以利用matlab将该系统对应的阶跃响应曲线给绘制出来，如图3所示。

%% 基于微分方程的解求解阶跃响应的曲线
clc;
clear;
% 定义电路参数
R = 1000; % 电阻，单位：欧姆
C = 0.000001; % 电容，单位：法拉
Ui = 1; % 输入直流电压，单位：伏特

% 定义时间范围和时间步长
t = 0:0.0001:0.01; % 时间从0到0.01秒，步长0.0001秒

% 计算电容电压的零状态响应
U0 = Ui*(1 - exp(-t/(R*C)));

% 绘制电容电压随时间变化的曲线
plot(t, U0 );
xlabel('时间 (s)');
ylabel('电容电压 (V)');
title('RC串联电路零状态响应');
grid on;

%% 基于传递函数求解阶跃响应的曲线
clc;
clear;
% 定义RC电路参数
R = 1000; % 电阻，单位：欧姆
C = 1e-6; % 电容，单位：法拉
tau = R * C; % 时间常数

% 定义传递函数
num = 1;
den = [tau, 1];
sys = tf(num, den);

% % 绘制阶跃响应曲线
stepplot(sys);
xlabel('时间 (s)');
ylabel('输出电压');
title('RC电路的阶跃响应');
grid on;

图3 RC电路阶跃响应曲线

从微分方程的解以及matlab仿真的角度都可以对系统进行时域分析，求得其暂态和稳态的性能指标，从而可以更好地得到系统在不同输出信号下的响应情况。同时，这对控制率的设计和控制系统的校正也提供了一个评价指标。所以，时域分析是为了分析一个稳定的控制系统（稳定性判定后续再解释）在不同的输入信号激励下的响应情况，从而帮助我们判断其快速性和准确性。

控制那些事儿（三）：时域分析之时域到底在分析什么？