上一篇文章“黑洞都可以拍！现在的望远镜为什么那么牛？” 介绍了望远镜的最基本指标。
这里，我们详细介绍一下现代的射电望远镜拍摄技术：甚长基线干涉测量 Very-long-baseline interferometry (VLBI) 的基础。需要用到的数学工具是：矢量；部分积分和复数的概念。需要更多解释的请让我知道 :-)
图1：甚长基线干涉测量 [Very-long-baseline interferometry (VLBI)]。遥远的星体上某个点发出的电磁波信号以相同方向抵达相距一定距离的电磁波接收器（望远镜），对积累记录下的信号进行关联处理可以得到遥远星体的合成影像。
为了简单起见，我们只考虑相对位置是
的两个射电望远镜，且它们只接收遥远的星体上发出来的波长为 
的电磁波信号。由于星体到地球的距离远远大于的大小，星体上某个点发出的电磁波信号会以相同的方向（表示为单位矢量 
）分别进入这两个望远镜①和②。
只要测量了电磁波的入射方向，就能知道星体的（黑白）影像信息；想象一下，如果我们知道星星的指向（和平行），那是不是就可以自己画在纸上，然后告诉别人这就是你“拍”的星图？偷偷告诉你，射电望远镜基本上就是这么干的...
两个望远镜天线在某个时间
接收的电磁波信号分别可以写成
%20%EF%BC%8C)
%E3%80%82)
其中，
是电磁波的角频率，和波长成反比关系；简单起见我们假设两个望远镜的接收强度（例如最大信号电压）
都一样。
是由星体发出的电磁波的随机初始相位而决定的量。
是可以用仪器人为地单独调整的相位（例如可以通过改变望远镜到信号存储点的距离而实现）。
利用上一篇讨论的，可以知道两个望远镜接收的电磁波有相位差 %20%3D%202%5Cpi%5Cfrac%7Bl%7D%20%7B%5Clambda%7D%20%EF%BC%8C---%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%881%EF%BC%89)
其中
是电磁波的波矢量，波矢的大小
表示每传播一个波长的距离，电磁波的相位就改变
（360度）回到原来的状态（例如，就像水波的一个波峰移到下一个波峰）。而 
是相对位置在电磁波传播方向的投影大小（见图1）。知道相位差
，就知道星体的方位信息。
要测量，我们对两个电磁波信号进行关联干涉。一种类似于讨论水波衍射时的方法是，测量两个信号叠加后的强度：
%5E2%20%5Crangle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_0%5E%7BT%7D%20(E_1%2B%20E_2)%5E2%20dt%20%EF%BC%8C)
其中尖括号代表测量时对叠加的信号进行时间平均（就是说，测量某个很短时间内接收的电磁波能量）。因为是时间平均，随着时间的快变振荡项可以被平均掉，我们得到：
%5E2%20%5Crangle%20%5Capprox%202A%5E2%20%5Ccos(%5Cphi%2F2%2B%5Calpha%2F2)%5E2%20%E3%80%82--%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%882%EF%BC%89)
当的投影
改变
这么多的时候，信号相加的测量结果就从最大值变成最小值。越大的距离，就可以有越大的分辨率。
不过，虽然这个信号相加的方法很直观，但它有个实际应用上的问题：它对信号噪声敏感。因此，目前的射电望远镜用的是另外一种信号处理方法：信号相乘。这是
类似地，信号处理器过程中会丢掉时间的快变振荡项，所以有：
%20%E3%80%82%20--%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%883%EF%BC%89)
如果信号带有噪声%20%E3%80%82)
只要噪声在两个望远镜上是独立无关联的、且平均值为零（这是噪声通常的特点），那么可以发现，噪声对我们的结果公式（3）没有影响。这种巧妙的方法其实在很多地方都有应用。
从公式（3）可以提取出相位信息，进而利用已经知道的距离得到天空的指向的信息。通过测量不同的下的结果（例如选用不同地方的望远镜，等目标星体在天空不同位置的时候再测量），就能得出的方向（精度受限于前述的分辨率）。
明白了？那我们看复杂一点的实际情况。黑洞照片是个圈圈而不是一个点，不可能只有一个方向的信息就能给出一张照片图案。实际上，望远镜接收到的信号不是前面讲的那么简单，而是包括很多很多不同方向位置的电磁波信号：
%20%EF%BC%8C)
%E3%80%82)
其中，求和号
表示后面的项在不同方向 的情况下进行相加，下标带方向的表明这些量的值和方向有关。 
是不同方向的随机初始相位。对黑洞这类遥远的天体，不同方向的随机相位是没有关联的。就像前面讲的，是一个可以人为控制的参数。相位差
和之前的一样，只是加了个下标。我们看信号相乘方法的测量结果。平均掉与时间有关的快速振荡项和与随机相位有关的涨落项，可以得到，对于相对位置为 的关联信号是%3D%20%5Clangle%20E_1E_2%20%5Crangle%20%5Capprox%20%5Csum_%7B%5Chat%7Bk%7D%7D%20I(%5Chat%7Bk%7D)%20%5Ccos(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D%5Chat%7Bk%7D%5Ccdot%5Cvec%7BL%7D%2B%5Calpha)%20%EF%BC%8C%20--%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%884%EF%BC%89)
其中星体的发光强度随空间指向的分布%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DA_%7B%5Chat%7Bk%7D%7D%5E2)
就是我们需要“冲印”的照片。目标星体在不同时间出现在天空不同的位置，因为目标星体的平均指向是照片的参考点，所以公式（4）里面的相对位置的指向，会随着星体在天空不同的位置而相对地变化。另外，利用多个不同相对位置的望远镜，我们可以获得很多不一样的下的信号)
。)
就可以从信号反推出来（具体是逆傅里叶变换，后面会详细解释）。
公式（4）可以用合奏音乐来理解：把想象成演奏的时间点或者曲谱，%20%5Ccos(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D%5Chat%7Bk%7D%5Ccdot%5Cvec%7BL%7D%2B%5Calpha))
则看成具有不同音调的乐器，这样就是所有乐器合奏的音乐。通过听不同曲谱下的演奏，音乐家就能确定里面有什么样的乐器或者。
下面看具体的计算。为了表达成与星体照片相关的结果，我们以星体的大概指向
为基准，把单位矢量写成
其中矢量
是相对基准的偏移，并定义%3DI(%5Chat%7Bk%7D))
。分别测量
和
的结果，可以从定义它的复数形式 %3D%20e%5E%7Bi%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D%20%5Chat%7Bk%7D_c%5Ccdot%20%5Cvec%7BL%7D%20%7D%20(%5Clangle%20E_1E_2%20%5Crangle_%7B%5Calpha%3D0%7D%20%2B%20i%20%5Clangle%20E_1E_2%20%5Crangle_%7B%5Calpha%3D%5Cpi%2F2%7D%20)%20%E3%80%82)
把求和写成傅里叶积分形式：%20%3D%20%5Cint%20%5Ctilde%7BI%7D(%5Cvec%7Br%7D)%20e%5E%7Bi%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BL%7D%20%7D%20d%5Cvec%7Br%7D%20%E3%80%82)
其逆变换就是图像信号：%20%5Cpropto%20%5Cint%20%5Ctilde%7BS%7D(%5Cvec%7BL%7D)%20e%5E%7B-i%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BL%7D%20%7D%20d%5Cvec%7BL%7D%20%E3%80%82%20---%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%885%EF%BC%89)
要得到更全面的图像)
，如前面说的，需要用多个望远镜在不同位置不同相对角度测量。由于不能任意取值（例如它的大小目前没有大于地球尺寸），所以目前"拍到“的图像不可避免会有点模糊。
什么，没明白？没事，黑房里拿个甜甜圈用黄灯照着，把照相机故意调失焦，然后拍一下。。。是不是和人类第一组黑洞照片很像呢？
