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圆的方程

圆的方程

圆的方程

题型一:点与圆的位置关系

写出圆心为 $A\left(\text{2,} -3\right)$ ,半径长等于 $5$ 的圆的方程,并判断点 $M_{1}\left(\text{5,} -7\right)$ , $M_{2}\left( -\sqrt{5} ,-1\right)$ 是否在这个圆上.
点 $P\left( 5a+\text{1,} 12a\right)$ 在圆 $( x-1)^{2} +y^{2} =1$ 的内部,则 $a$ 的取值范围为___________.
已知三点 $A\left(\text{3,} 2\right)$ , $B\left(\text{5,} -3\right)$ , $C\left( -\text{1,} 3\right)$ ,以点 $P\left(\text{2,} -1\right)$ 为圆心作一个圆,使 $A,B,C$ 三点中有一个点在圆外,一个点在圆内,一个点在圆上,求这个圆的方程.

题型二:求圆的标准方程

已知 $\vartriangle ABC$ 的顶点坐标分别是 $A\left(\text{5,} 1\right)$ , $B\left(\text{7,} -3\right)$ , $C\left(\text{2,} -8\right)$ ,求它的外接圆标准方程.
已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A\left(\text{1,} 1\right)$ 和 $B\left(\text{2,} -2\right)$ ,且圆心 $C$ 在直线 $l:x-y+1=0$ 上,求圆心为 $C$ 的圆的标准方程.
经过原点,圆心在 $x$ 轴的负半轴,半径为 $\displaystyle 2$ 的圆的方程是___________.
已知 $\vartriangle AOB$ 的顶点坐标分别是 $A\left(\text{4,} 0\right)$ , $B\left(\text{0,} 3\right)$ , $O\left(\text{0,} 0\right)$ ,则 $\vartriangle AOB$ 外接圆的方程为___________.
圆 $( x-3)^{2} +( y+4)^{2} =1$ 关于直线 $x+y=0$ 的对称圆为___________.
求经过点 $A\left( -\text{1,} 4\right)$ , $B\left(\text{3,} 2\right)$ 且圆心在 $y$ 轴上的圆的方程.
求过点 $A\left(\text{2,} 3\right)$ , $B\left( -\text{2,} -5\right)$ ,且圆心在直线 $x-2y-3=0$ 上的圆的标准方程.

题型三:圆的一般方程

求下列各圆的圆心坐标和半径长
（1） $x^{2} +y^{2} -2x-5=0$

（2） $x^{2} +y^{2} +2x-4y-4=0$

（3） $x^{2} +y^{2} +2ax=0$

（4） $x^{2} +y^{2} -2by-2b^{2} =0$
方程 $x^{2} +y^{2} +4mx-2y+5m=0$ 表示圆的条件是___________.
方程 $x^{2} +y^{2} +ax+2ay+2a^{2} +a-1=0$ 表示圆,则 $a$ 的取值范围是___________.
已知方程 $x^{2} +y^{2} +4kx-2y+5k=0$ ,当 $k\in$ ___________时,它表示圆;当 $k\in$ ___________时,它表示点;当 $k\in$ ___________时,它的轨迹不存在.
$\vartriangle ABC$ 的三个顶点坐标分别是 $A\left(\text{5,} 1\right)$ , $B\left(\text{7,} -3\right)$ , $C\left(\text{2,} -8\right)$ ,求它的外接圆的方程.
求经过 $A\left(\text{4,} 2\right)$ , $B\left( -\text{1,} 3\right)$ 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 $2$ 的圆的方程.
已知一圆过 $P\left(\text{4,} -2\right)$ , $Q\left( -\text{1,} 3\right)$ 两点,且在 $y$ 轴上截得的线段长为 $4\sqrt{3}$ ,求圆的方程.
点 $A$ 是圆 $x^{2} +y^{2} -2ax+4y-b=0$ 上任一点, $A$ 关于直线 $x+2y+1=0$ 的对称点也在圆上,求 $a$ 的值.

直线与圆的位置关系

题型一:直线(点)与圆位置关系的判断

求实数 $m$ 的取值范围,使直线 $x-my+3=0$ 与圆 $x^{2} +y^{2} -6x+5=0$ 分别满足:
（1）相交
（2）相切
（3）相离
点 $P(\frac{2t}{1+t^{2}} ,\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} )$ 与 $x^{2} +y^{2} =1$ 的位置关系___________.
过定点 $( 1,2)$ 存在两条直线与圆 $x^{2} +y^{2} +kx+2y+k^{2} -15=0$ 相切,则 $k$ 的取值范围是___________.
直线 $l:( k+1) x-ky-1=0( k\in R)$ 与圆 $C:x^{2} +( y-1)^{2} =1$ 的位置关系是___________.
直线 $( x+1) a+b( y+1) =0$ 与圆 $x^{2} +y^{2} =2$ 的位置关系是___________.

题型二:圆的切线问题

求以 $C( 1,3)$ 为圆心,并且和直线 $3x-4y-7=0$ 相切的圆的方程.
求经过点 $( 1,-7)$ 与圆 $x^{2} +y^{2} =25$ 相切的切线方程.
求与圆 $x^{2} +y^{2} +8x+6y=0$ 相切且在两坐标轴上的截距相等的切线的方程.
经过点 $M( 2,1)$ 作圆 $x^{2} +y^{2} =5$ 的切线,则切线方程为___________.
已知圆 $C:x^{2} +y^{2} -2x+4y=0$ 则过原点且与圆 $C$ 相切的直线 $l$ 的方程___________.
由点 $P( 1,3)$ 引圆 $x^{2} +y^{2} =9$ 的切线的长是___________.
斜率为 $3$ ,且与圆 $x^{2} +y^{2} =10$ 相切的直线的方程是___________.
已知圆 $C:(x-1)^{2} +(y-2)^{2} =2$ , $P( 2,-1)$ ,过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线,切点为 $A,B$ .
（1）求直线 $PA$ , $PB$ 的方程;
（2）求直线 $PA$ 的长;
（3）求过两点 $A,B$ 的直线方程;
（4）求弦长 $|AB|$ .

题型三:直线和圆相交问题

求经过点 $P( 6,-4)$ ,且被圆 $x^{2} +y^{2} =20$ 截得的弦长为 $6\sqrt{2}$ 的直线方程.
已知 $P( 2,1)$ 为圆 $x^{2} +y^{2} =20$ 内一点,求以 $P( 2,1)$ 为中点的圆的弦所在直线方程.
直线 $x-y+4=0$ 被圆 $x^{2} +y^{2} +4x-4y+6=0$ 截得的弦长等于___________.
圆 $x^{2} +y^{2} -4x-5=0$ 的弦 $AB$ 的中点为 $M( 3,1)$ ,则直线 $AB$ 的方程为___________.
直线 $l$ 将圆 $x^{2} +y^{2} -2x-4y=0$ 平分,且与直线 $x+2y=0$ 垂直,则直线 $l$ 的方程为___________.
直线 $\sqrt{3} x+y-2\sqrt{3} =0$ 截圆 $x^{2} +y^{2} =4$ 所得劣弧对的圆心角的弧度数是___________.
圆 $x^{2} +y^{2} +2x+4y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有___________个.
当 $m$ 为何值时,直线 $2x-y+m=0$ 与圆 $x^{2} +y^{2} =5$
（1）截得的弦长为 $2$ ;
（2）交点处两条半径互相垂直.

圆与圆的位置关系

课后练习

已知圆 $C_{1} :x^{2} +y^{2} =10$ 与 $C_{2} :x^{2} +y^{2} +2x+2y-14=0$ .求两圆公共弦所在直线的方程.
已知圆 $C_{1} :x^{2} +y^{2} -2x-6y+1=0$ , $C_{2} :x^{2} +y^{2} -4x+2y-11=0$ ,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

综合应用

题型一:最值问题

设 $P( x,y)$ 为圆 $( x-3)^{2} +y^{2} =4$ 上任一点,则 $\frac{y}{x}$ 的最小值是___________.
求圆 $x^{2} +y^{2} =4$ 上的点到直线 $4x+3y-12=0$ 的最近、最远距离.
如果直线 $l$ 将圆 $( x-2)^{2} +( y+3)^{2} =13$ 平分,求坐标原点到直线 $l$ 的最大距离.
已知点 $( x,y)$ 在圆 $( x-2)^{2} +( y+1)^{2} =36$ 上,求 $u=x+y$ 的最大值和最小值.
已知实数 $x,y$ 满足方程 $x^{2} +y^{2} -4x+1=0$ .
（1）求 $\frac{y}{x}$ 的最大值和最小值;
（2）求 $y-x$ 的最小值;
（3）求 $x^{2} +y^{2}$ 的最大值和最小值.
（1）若点 $P( x,y)$ 在圆 $C:( x-2)^{2} +y^{2} =3$ 上,求 $\frac{y}{x}$ 的最大值是.
（2）已知 $x,y$ 满足 $x^{2} +y^{2} -2x+4y=0$ ,求 $x-2y$ 的最大值.
已知直线 $l:y=x+b$ 与曲线 $C:y=\sqrt{1-x^{2}}$ 有两个公共点.求 $b$ 的取值范围.
曲线 $C:y=1+\sqrt{4-x^{2}}$ 与直线 $l:y=k( x-2) +4$ 有两个交点时,求实数 $k$ 的取值范围.
已知 $P$ 是直线 $l:3x+4y+8=0$ 上的动点, $PA,PB$ 分别是圆 $x^{2} +y^{2} -2x-2y+1=0$ 的两条切线, $AB$ 是切点, $C$ 为圆心.求四边形 $PACB$ 面积的最小值.

最后编辑于：2018.09.11 09:26:37

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