矩阵分析（一）线性空间

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 $\mathbb {F}$ 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（举有封闭性），称为数域。如，有理数域 $\mathbb {Q}$ ，复数域 $\mathbb{C}$ ，实数域 $\mathbb{R}$

线性空间的定义：

设 $V$ 是以 $\alpha, \beta,\gamma,\dots$ 为元素的非空集合， $\mathbb{F}$ 是一个数域，定义两种运算：加法 $\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V$ ; 数乘 \forall k \in \mathbb {F}, \alpha \in V, k \alpha \in V。满足8条性质：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，零元 (单位元) 存在，1 (幺) 元存在，负元存在。则称 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间

交换律 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
结合律 $\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma$
零元素存在唯一的零元素 $0 \in V$ ，使得对于 $V$ 中的任一元素 $\alpha$ 都有 $\alpha + 0 = \alpha$
负元素在 $V$ 中每一个元素 $\alpha$ ，都有 $V$ 中的元素 $\beta$ ，使得 $\alpha + \beta = 0$ ，其中 $0$ 代表零元素。
$\mathbb{F}$ 中存在单位元 $1$ ，使 $\alpha \cdot 1 = \alpha$
结合律 $(\alpha l)k = \alpha(kl)$
分配律1 $\alpha(k+l) = \alpha k + \alpha l$
分配律2 $(\alpha+\beta)k = \alpha k + \beta k$

注： $\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in \mathbb {F}$

简单点说，上述 8 条，只要有任意一条不满足，则 $V$ 就不是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

例 1

$V=\{0\},\mathbb {F}$ 是数域，判断 $V$ 是否为数域 $\mathbb {F}$ 上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合 $V$ 在数域 $\mathbb{F}$ 上是否满足上述 8 条。这里明显满足条件，因此 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间

例2

$R^+$ 表示所有正实数集合，在 $R^+$ 中定义加法 $\oplus$ 与数量乘法 $\odot$ 分别为
$\begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align}$
判断 $R^+$ 是否构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 $R^+$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间

例3

设 $V$ 是由系数在实数域 $\mathbb{R}$ 上，次数为 $n$ 的 $n$ 次多项式 $f(x)$ 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明 $V$ 不是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间

其它线性空间的例子

线性空间的性质

加法零元(单位元）唯一
加法负元唯一

证略

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线性空间的定义

例 1

例2

例3

其它线性空间的例子

线性空间的性质

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