线性空间

首先我们介绍线性空间的定义。

如果有空间V和数域F，在F中定义了四则运算且对其封闭，对于V中的成员x,y,z和F中的成员a,b，在V中定义了“加法”：x+y，在F和V上定义“数乘”：ax。

我们称V是线性空间，如果它满足下面的10条性质：

1.V对于加法封闭，即对任意的x,y∈V，x+y∈V；

2.V对于数乘封闭，即对任意的x∈V，a∈F，有ax∈V；

3.V满足加法结合律：x+(y+z)=(x+y)+z；

4.V满足加法交换律：x+y=y+x；

5.V中存在零元：记为，使得对于任意x∈V，有+x=x；

6.对于任意x∈V，存在其负元：记为-x，使得x+(-x)=；

7.V满足数乘分配律：a(x+y)=ax+ay；

8.V满足元素分配律：(a+b)x=ax+bx；

9.V满足数乘结合律：(ab)x=a(bx)；

10.F中存在幺元：记为，使得x=x。

其中要注意的是，所谓零元并不一定是0，所谓幺元也不一定是1.上面的和只是这里的一种记法而已。关于此，接下来会有说明。

我们令F为实属域R，下面的几个例子中，V都满足上面的10条性质，因此都可以称为线性空间：

V是m*n的矩阵集合；

V是n阶对角阵的集合；

V是关于x的n阶多项式；

V是定义在[0,1]上的连续函数的集合；

……

理绘的笔记~线性空间~

对于一个线性空间V来说，它的零元是唯一的。这可以用反证法来说明：

假设在V中存在两个不同的零元和'，根据零元的性质（10条性质中的第5条）：

由于是零元，所以'+='.

由于'是零元，所以+'=.

这就说明了和'是相等的，与假设矛盾。因此零元唯一。

同样的，对于某个在V中的x，其负元也是唯一的。这也可以通过类似的反证法说明：

假设存在x的两个负元b和b'，b≠b'。

由负元的性质（10条性质中的第6条），x+b=，同时x+b'=.

因此，根据上面的10条性质，我们可以推得：

b=b+=b+(x+b')=(b+x)+b'=+b'=b'

也就是b=b'。这与b≠b'矛盾。因此x的负元唯一。

请注意，上面的证明，是全部建立在线性空间的10条性质基础上的，并没有其它定义之外的任何操作。

那么我们要问，既然零元和负元具有唯一性，那么线性空间的幺元是否唯一呢？答案是否定的。

可以举这么一个例子来说明：V是只含元素0的空间。F取作R。可以验证，V是一个线性空间。但是它的幺元可以是F中的任意实数。这就说明，一个线性空间的幺元可以是不唯一的。这同时也说明幺元不一定是1.

最后，我们再来看一个例子：

令V为全体正实数，F为实数集合。

定义V上的“加法”：xy=xy；定义V上的“数乘”：ax=x^a；

在这种定义下，依然可以由10条性质验证，空间V是一个线性空间。然而这时候，由于“加法”的定义已经改变，V中的零元应该是1.它满足对任意x∈V，1x=x；而x的负元应是1/x，它满足x1/x==1.

这同时说明，只要定义合理，零元也不一定就是0.