作者：王国波

上一篇：数学思想方法揭秘-15。

本不想再写这个系列，但感觉有些东西还是要重复强调下,故有此文。

此文用3道初中数学题的解题思维过程来阐释如何使用数学思想方法来指导数学思维过程，如果想学习更多的解题思维过程，可访问今日头条数学之道，如下图，它是本系列的实战配套伴侣。

第一题

这道题使用的思维方法其实在前面的文章中提到过，这里截图如下。一种是向上抽象，第二种是向下简化，归纳。

对这道题，首先要观察，形象思维。按前面提到的两种辩证思维的方法，1）向下简化，9虽然是个具体的数，感觉也不大，但如果自己觉得在9个的情况下看不清问题，那说明数字还是太大，难以把握。那就以退为进，退到更简单的情况（例如从复杂到简单，从简单到更简单，从抽象到具体，从具体到更具体，从一般到特殊等），简化问题。要简化，对这题就是减少图形的数量，例如减到1个、2、3个。前面说过简化后的问题不能变味，要和原题有本质的相似性不变性，不能失真。这题我们简化到3个图形的情况，当然还可以多研究几个简单情况，例如2个的情况。对3个的情况，此时一眼就能看清，很容易得到感性认识和理性认识，很容易总结归纳出规律，得到认识和规律之后，进行认知的迁移，再进，再回到原题，运用我们在3个时总结出的规律、认识、经验。2）向上抽象，从具体变到抽象，从抽象到更高层次的抽象，从特殊到一般，从一般到更一般，得到抽象背后的通用机制、规律、模型。9是个具体的数字也是特殊的数字，我们可以变到抽象的一般的数n来进行研究。

这道题的两种方法见下图。

第一种的变种就是归纳法，从多种简单情况（例如1个、2个、3个）归纳。

第二种方法除了抽象，也运用了递推思想，n-1和后继n之间的关系，也体现关系思想。

一题多解，下图是第三种方法，其思维过程在前面的文章中有类似的，就是数学思想方法揭秘-3-3中的第7题。第七题是观察图形，发现图形有闭合特征，通过辩证思维逆向思维，从闭合联想到展开，再利用对应关系。

本题第三种方法的思维过程：观察原图，两个图形是扣和咬合在一起的，这就是特征，扣和的反面是不扣和，分离，一想到分离，结合图形直观和形象思维，马上就意识到、感觉到分开后问题变简单了，分开后的长度很容易计算，所以把它们分开。我们现在知道分离后的长度，但题目要求的是扣合时的长度，所以要研究扣合与分离情况下两者之间的关系，运用关系思想和逻辑推理、比较思想：通过观察和推理比较，一个扣合分开后长度增大了a-b(增量)，有9个图形，就有8个扣和，总共增大8（a-b），分开后的总长度是9a，故相减就是原题答案。从扣和联想到不扣和&分离就是辩证思维，辩证法真有用，再运用运动变化的思想实现分离。要观察出存在扣和的图形特征，再利用这个特征来展开思维，这个就是前面的文章在讲述解题策略时提到的基于(面向)特征驱动的解题策略。运用扣和与分离的辩证关系，进行图形分离，分离就是运动变化，再比较运动变化之后的关系：每个扣和分离后增大了a-b，这个增大的数量要靠观察加推理。

辩证法辩证思维与数学思想方法和数学思维

万事万物无时不刻不在运动，时时刻刻都在变化，可以说运动变化是永恒的，是绝对的，是普遍的。在数学解题的思维过程中，在思维上，在解题行动上都要善于变化。

好好领悟辩证法，辩证思维，学数学一定要领悟到辩证法在数学中的指导作用才算悟道，才算得到数学思想的精髓。辩证法中的相互对立统一和相互转化的矛盾观，矛盾分析法、联系观、整体系统观，运动变化观、否定之否定的反思调整真的有用，不是空谈。

呆板和机械就是不会变，不会变化，不知道可从哪些方面哪些方向或哪些维度变。

碰到数学题，想不出来时，通常要发散思维，寻求变化。穷则思变，不变没有出路，没有解题思路，当然要变，辩证法辩证思维可用于指导如何变化，辩证法就是变化法。

易经主要讲的也是变，当然还有不变，有个不变的，数学思想方法中也有个不变的。

运动变化的形式有多种：无形的思维变化或思维思路的转化转变，如大脑中从具体到抽象是思维的运动变化、从具体到更具体&简化，联想，思绪由此及彼都是运动变化，转变思路是变化，反思反省后进行调整也是变化；可见的有形的运动，例如行走奔跑，遥控器调节空调温度是变化，上图中从扣合变到分离也是变化，数学题代数式、方程式的各种变形是变化，几何变换如旋转、平移、对称也是，数学思想中的数形结合、”转化”也是运动变化。

解题策略有多种，但主要也是基于辩证思维，例如正难则反，正面不行，正面难以解决就反向，直接不行就间接，其实就是逆向思维辩证思维，再比如具体与抽象的相互转化（利用具体和抽象的辩证关系，即矛盾的对立统一相互转化关系），具体到抽象，抽象到具体；一般与特殊的相互转化，特殊到一般，一般到特殊，还有非常多的这种带逆向思维的策略，例如上图中的扣合与分离，这些都是基于辩证思维，基于辩证关系的解题策略，在前面的数学思想方法揭秘-1中列出了一长串的存在辩证关系，从而可用于辩证思维的词汇表，也提到过这个辩证思维词汇表是要根据具体问题来进行扩展的，例如碰到这道题，就识别出题目中的扣合与分离，它们在先前的词汇表中是不存在的。除了基于辩证思维的解题策略，还有不是基于辩证思维的解题策略，这里强调基于特征的解题策略，这个解题策略在前面的文章中也提到过。基于特征首先要知道特征的种类：如数字特征，例如初中几何题中有15度，那就要敏锐知晓这个15度很可能可作为特征，因为联想到15*2=30，而30是个特殊角，初中生对它很熟悉，联想到和它相关联的知识点，再运用构造思想，想法构造出30度角。图形结构上的特征、关系特征、还有其他类型的特征，前面的文章有总结过特征种类，自己去看。解题策略之间、数学思想方法之间，以及解题策略和数学思想方法之间在概念(静态)、使用上(动态)通常都存在交叉和关联关系，从这个15度的描述中，可以得出在很多题中一般是综合使用它们的，联合在一起使用的：从15度这个数值特征联想到30度，进而想到要构造出30。这里就运用了基于特征展开思维（基于特征的思维，基于特征的解题策略），这里结合了联想，下一步又结合了构造思想。

第二题

若n为正整数，求使得关于的不等式有唯一整数解的n的最大值是多少？

解题思维过程：

  思维过程中的有些话不适合也无必要写在正式的解题方法中。

  显然为正整数。由可得 ，由可得,合起来就是

。但由这个不等式是难以求出n的最大值的。在前面的文章中提到过要充分利用题目中的已知条件，题目中的已知条件通常都有用，一般没有多余的，所以要检查还有哪些已知条件没有利用上。很显然'唯一'解这个约束限制条件我们还没有利用。但”唯一”很口语化，它不是数学语言的形式，此题难以利用它，直接使用它不顺手，此时我们应该要想到转化，化难为易，要将它转化成用数学语言表示的顺手的条件，那就要深入挖掘分析这个‘’唯一‘条件背后对应的充要条件(相互等价)、必要条件或充要条件。

在草稿纸上画下数轴，如下图，不画数轴也可以，具有”唯一”解的必要条件(必须的条件)是且，这个就是用数学语言数学形式表述的条件，这个条件是必要但不充分的。

数轴

也就是。由可得。把n=220代入，可知确实只有唯一解199,故n的最大值为220。

总结与反思：解题中要充分利用已知条件，已知条件一个都不能轻易漏掉，不能轻易放过一个已知条件，特别是不起眼的，不引人注意的条件，要充分利用上，不只是利用上更要利用好它们，有时还要多次利用同一个条件。要注意发现隐藏的已知条件，这题中”唯一解”这个条件是一个不好利用的，不顺手，不起眼的，不引人注意的比较隐藏隐晦的已知条件。我总结出的诀窍：对不顺手的、不好直接利用的、隐晦的已知条件，通常要对这些条件进行转化或改造或重组，对这类条件中属于形容词性质的、限定性质的、约束强制性质的条件，其中的一个诀窍是推敲这个条件，将它转化为另一种表述形式的条件：具体而言，就是深挖它背后对应的充要条件、必要条件，有时还包括充分条件，这也体现了前面提到过的因果关系&因果思想&因果思维。这些充要条件和必要条件通常是用数学语言的形式来表述的，解题时容易利用，用起来比较顺手。在数学思想方法揭秘-3-4中的第12题，也是推敲”闭区间”这个不起眼的条件背后对应的必要条件，利用必要条件来找到解题突破口。

此题中的‘’唯一‘’、数学思想方法揭秘-3-4中的第12题的闭区间都是这种限制性，强制性的条件。自己思考下，如果有道题说某一点在圆内部，它对应的必要条件是什么？这个应该很简单。

从此题也可看出，每解一道题，不管是成功还是失败，事后都要总结反思，总结提炼出规律、经验、诀窍、通法，在数学思想方法上的感悟是什么，收获是什么，反思自己的不足是什么，教训是什么，这样才能有大的长进。

第三题

这道题给出4种解法，其中3种是初中方法，1种是高中方法。

第一种初中方法如下图，联想到直角三角形斜边中点性质和中点与CDB构成的对称全等结构。

另两种初中方法和一种高中方法如下图。

这些方法除了运用观察和关系&联系思想，还根据已知条件和未知&所求，进行顺应与同化，顺势而为。

这里强调的是上图初中方法，合情合理的设想&猜想，也就是合理设想。合情合理的设想：在已有概念、知识、能力与经验的基础上,运用归纳、类比、联想、猜想、观察等方式,对客体做出的合情合理的认知结论。在数学解题中就是根据题目题设(已知)和未知（结论、所求）的特征，合乎情理&合乎同理心情况下，大胆设想所求答案或结论的某种目标模式，这题结合已知条件设想的目标模式形式为：，设想的系数相等(以便利用上已知条件,因为这个已知条件中的系数相等，也就是这两个式子中的对应系数成比例)，这题也体会下顺应与同化的概念，要拼凑出这个目标模式(确定m、n的数值)，很显然使用了待定系数法。

合理设想&猜想不神秘，数学上的有些猜想是通过归纳得出的，例如哥德巴赫猜想。

今日头条"数学之道"中有几道题也运用了合情合理设想。再做下合理设想的思维训练。

1) 某题要证明a、b、c三个数中至少有1个数为5。不用反证法，用合理设想，你会设想出什么目标形式？

2)  要证明如下形式的结论：几何题，要证明其中 A、B、C、D、M、N分别为题中6条线段长度。可以设想怎样的中间结论。

参考答案在文章末尾。

本篇的大部分内容其实在前面的文章中都有讲述，这里用3道数学题来重复讲述，炒现饭引起大家注意。

第一个设想的参考答案：如果a、b、c三个数地位是轮换对称的，合理设想的目标结论可为,显然只要证明这个结论就自然证明了3个数中至少有一个为5，证明这个结论比直接证明3个数中至少有一个数为5要简单可行。

第二个设想的参考答案：可以设想在线段M上截取线段M1，剩下的线段为M2, M1+M2=M.

则要证明的结论可变为：.

再设想

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