指数函数：2018年文数全国卷C题21

2018年文数全国卷C题21

已知函数 f(x)=\dfrac{ax^2+x-1}{e^x}.

（1）求曲线 y=f(x) 在点 (0,-1) 处的切线方程;

（2）证明：当 a \geqslant 1 时，f(x)+e \geqslant 0.

【解答问题1】

f(x)=e^{-x}(ax^2+x-1)

f'(x)=e^{-x}(-ax^2+2ax-x+2)

f'(0)=2

曲线 y=f(x) 在点 (0,-1) 处的切线方程为 y=2x-1.

【分析】

当 a \geqslant 1 时，显然有 ax^2 \geqslant x^2 \geqslant 0

所以，只要证明 a=1 时不等式成立即可。

【解答问题2】

∵ e^t \gt 1+t

∴ e^t-1 -t +t^2 \geqslant t^2 \geqslant 0

令 t=x+1, 则

e^{x+1} + (x+1)^2 - (x+1) -1 \geqslant 0

∴ e \cdot e^x + x^2 +x -1 \geqslant 0

∵ x^2 \geqslant 0

∴ 当 a \geqslant 1 时，ax^2 \geqslant x^2

∴ e \cdot e^x + a x^2 +x -1 \geqslant 0

又 ∵ e^x \gt 0

∴ \dfrac{e \cdot e^x + a x^2 +x -1 \geqslant 0}{e^x} \geqslant 0

∴ f(x)+e \geqslant 0. 证明完毕.

【提炼与提高】

\boxed{e^x \geqslant x+1}

这个不等式常常用到，一定要记牢。

『换元法』 也是常用的方法。在本题中，换元法起到很关键的作用。

最后要牢记以下口诀：『正正得正；负负得正』。

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